$\displaystyle\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\cdots$

$\displaystyle\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}}$

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$

$\displaystyle\frac{4}{\pi}=1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{9}{7+\frac{16}{9+\frac{25}{\dots}}}}}$

$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots$

これらはほんの一例です。無理数であるπがこのような美しい式で特徴づけられるのは興味深く、眺めているだけで面白いです。

こういった公式は、円と関係ない所から見つかり、そのあと円などを絡めた幾何的な証明または解釈が与えられることもあります。

こんなところに円周率

本来円の直径と円周の長さの比を表すはずであるπは、数論、確率、複素数、果てには物理の光、素粒子など、あらゆる分野に顔を見せます。

とくに素数とπは深く関係しています。例えば、次のようなことが知られています。

勝手に選んだ2つの自然数が互いに素である確率は、 $\displaystyle\frac{6}{\pi^2}$ である。

勝手に選んだ1つの自然数が平方数で割り切れない確率は、 $\displaystyle\frac{6}{\pi^2}$ である。

πは、現実世界にも表れます。世界中の川の衛星写真から、源から河口までの直線距離 $d$ と、曲がりくねった川の実際の長さ $l$ を測ります。このとき、 $\displaystyle\frac{l}{d}$ を平均すると、なんとπになります。『フェルマーの最終定理』の著者サイモン・シンはこれを興味深いこととして指摘しています。

統計では、おそらく最も重要な関数である正規分布でπが現れます。正規分布とは、偏差値の分布を表すグラフなどでよく見る、世の中の多くの事柄について、大量のデータを集めてグラフを描くとこれに近づく、という分布です。その確率密度関数は

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{exp}(-\frac{x^2}{2})$

となります。

πは超越的な存在

最後に、数としてのπの性質に触れます。πは $\sqrt{2}$ と同じくらい無理数として代表的な例ですが、高校の数の性質などの証明問題ではあまり見ません。それはなぜか。

一言でいうと、πは超越数と呼ばれる存在だからです。

超越数の定義は、簡単に言うとあるとあらゆる(整式)=0という方程式の解になり得ない数です。

整式とは係数が整数の多項式のことで、したがって超越数であるというのはつまり $3x^3+x^2-x+4=0$ みたいな方程式の解として現れることは絶対にない、ということを意味します。もちろん、係数に実数を許すのであれば $x-\pi=0$ とかでいいですから、そういう当たり前な場合を省くために、整式としているのです。

πは、数IIBまでに登場する唯一の超越数だと言えます。（数IIIではeというものが登場し、高校数学では扱いませんが実はこれは超越数です）これはπが特別な存在に見える理由の一つかもしれません。

（大学で習うガロア理論では、このように係数がこの範囲の方程式の解はどれくらい複雑になり得るかといったことを研究します。興味がある方は本などを調べてみるとよいと思います。）

π自体にも、まだまだ謎が残っています。πは現在何十兆桁と計算されています。無理数ですから当然どこまでも終わらないのですが、小数点以下に現れる数字は完全ランダムなのか、0から9までの数字が同じくらいの割合で現れるのかというと、これまで計算された結果の範囲内ではかなり均等であることが分かっていますが証明されていません。また、どこまでも無限に続くのだからどんな数字の列も見つかる、という俗説もありますが、これも証明されていません。

ただ、こういった面白いサイトがあります。円周率の中にある数列が入っているか調べるサイトがあります。小数点以下20億桁までの中にあるかどうかを調べてくれるようです。

Irrational Numbers Search Engine

このサイトではπの他に、eや $\sqrt{2}$ 、黄金比 $_phi$ からも探してくれるようです。自分の生まれた日付などを探してみてはいかがでしょうか。

参考文献

『メビウスの帯』クリフォード・A・ピックオーバー

『フェルマーの最終定理』サイモン・シン

written by k

2021-06-13

【数学小話】素数のみが現れる不思議な数列

数学小話数学

f:id:hby:20210612183626p:plain

ミル定数という定数をご存知でしょうか。ミル定数とは、素数と興味深い繋がりがある、とある実数の定数です。1946年にMillsが見つけました。

A=1.3063778838...

この2にも満たない値を使って、次のような式を考えます。

$\lfloor A^{3^n}\rfloor$

ここで、 $\lfloor x\rfloor$ とは、実数xを超えない最大の整数を表します。別の言い方をすれば、整数部分のことです。この記号はガウス記号と呼ばれることがあります。

なんと、この式にn=1,2,3,...と自然数を代入していくと、現れる数が全て素数になります！

n=1のとき、 $\lfloor A^{3^1}\rfloor=2$
n=2のとき、 $\lfloor A^{3^2}\rfloor=11$
n=3のとき、 $\lfloor A^{3^3}\rfloor=1361$
n=4のとき、 $\lfloor A^{3^4}\rfloor=2521008887$
...

全ての素数が順番に出てくるわけではなく、非常に飛び飛びの値をとりますが、素数しか現れない数列が出来ました。

今回はこの数列がどのようにして生まれたか、その背景を覗いてみましょう。

ミル定数が生まれるまで

Millsはまず次を示しました。

補題

$N$ を自然数とするとき、
$N^3＜p＜(N+1)^3-1$
を満たす素数pが存在する。

これを使って、最小の素数2をもってきて $P_1=2$ として、
$P_1^3＜p＜(P_1+1)^3-1$
を満たす素数pの中から11を選んで、 $P_2=11$ とし、さらに
$P_2^3＜p＜(P_2+1)^3-1$
を満たす素数pの中から1361を選んで、 $P_3=1361$ とします。

この手順を繰り返して、素数の列{2,11,1361,2521008887,...}が得られます。補題のおかげで、不等式を満たす素数の存在は保証されています。

素数からなる数列 $\{P_n\}$ が定義出来たので次に、
$a_n=(P_n)^{3^{-n}}$
と置きます。（{3の-n乗}乗です）
$\{a_n\}$ はnを増やしていくと、ある値に限りなく近づきます。(これを数列が収束すると言います)

その近づく値、すなわち極限値 $A=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ こそが、最初に述べた通り、
A=1.3063778838...
という値でミル定数なのです。

定理

$\lfloor A^{3^n}\rfloor$
はnが自然数のとき、素数である。

証明(概略)

$b_n=(P_n+1)^{3^{-n}}$ とおく。
$a_n,\ b_n$ の構成より、
$a_n＜A＜b_n$ すなわち
$P_n＜A^{3^n}＜P_n+1$
となるので、 $A^{3^n}$ の整数部分は $P_n$ である。

役に立つのか

正直、役に立ちません。今のところは。

まず、ミル定数を得るためには、事前に不等式
$N^3＜p＜(N+1)^3-1$
を繰り返し用いて素数の数列を用意しなければなりません。そうしてから得られたミル定数Aを使った
$\lfloor A^{3^n}\rfloor$
で現れる素数は、事前に用意した数列そのものになります。

つまり、素数を生み出す式を作るために、前もってその式に出てくる素数を全て知っておかなければならないのです。じゃあその式の存在理由は…？と思われても仕方ありません。この式で新しい素数が見つかるわけではないのです。

また、この作り方より、次に現れる素数は1つ前の素数の3乗くらいの大きさで、増加ペースがかなり速いです。桁数の大きい素数はそもそもあまり知られていません。そういう意味で、この定数を得るための数列も、実は無限には用意できません。あまりにも大きな整数は、素数かどうかをチェックするだけで膨大な時間がかかります。

ただ、「素数しか出てこない数列」というのは話として面白いですし、役に立つかどうかは未来の人が決めることです。役に立たないと思われていたものが、何年も経ってからその応用が見つかる、というのは数学ではよくあることです。

補足

さて、このやり方をまねれば、素数しか出てこない式はたくさん作れます。
ミル定数を作るまでに、まず素数の列を事前に用意しました。どう用意したかというと、

$P_1=2$ として、
$P_1^3＜p＜(P_1+1)^3-1$
を満たす素数pの中から11を選んで、 $P_2=11$ とし、さらに
$P_2^3＜p＜(P_2+1)^3-1$
を満たす素数pの中から1361を選んで、 $P_3=1361$ とする

という方法でした。ミル定数を作るうえでは、不等式を満たす素数のうち最小のものを常に選んでいます。
ここで注意することとして、不等式を満たす素数が1つとは限りません。

例えば $P_2$ を決める段階で、
$P_1^3＜p＜(P_1+1)^3-1$ は、
$8＜p＜26$
ですから、 $P_2=23$ としてもいいわけです。それに応じてそれ以降にとる素数も変わってきます。そもそも、最初の素数が $P_1=2$ でなくても構いません。

不等式を満たす素数を取る限り、どの素数を選んでも、最終的に $a_n=(P_n)^{3^{-n}}$ がある値に収束することがMillsによって示されています。その値を使った同じ式は、ミル定数の時とは違う素数の列が出てくる式が出来ます。

また、
$N^3＜p＜(N+1)^3-1$
のような素数の分布に関する不等式はたくさん研究されていて、改良された不等式がいくつも見つかっています。それらを使うことで、例えば
$\lfloor B^{2^n}\rfloor$

の形をした、素数しか出てこない式を作ることも出来ます。

素数しか出てこない式で言えば、これまた実用性のあまりない式をもう一つ、過去にこのブログで紹介しています。

【数学小話】病的な数学② 歴史的に有名な反例 - 日比谷高校のススメ

もしご興味があればご一読ください。

今回は以上です。

written by k

2021-05-20

中学生でも解ける大学入試数学７９★ 2020年青山学院大学

中学生でも数学

問題
★

下の図のような道のある地域で、次のような最短の道順は何通りか。

f:id:hby:20210519121503j:plain

(1) AからBまで行く道順
(2) AからCを通ってBまで行く道順
(3) AからCを通らずにBまで行く道順
(4) AからCを通ってDを通らずにBまで行く道順

ヒント、着眼点

私立の高校入試でもこういった問題を見かけます。組み合わせの問題として典型的です。

また、こういった最短経路を求める問題は、各分かれ道に順に数字を割り振っていくことで足し算だけで答えを出す方法もあります。

以下、解答

解答

(1) 56通り
(2) 24通り
(3) 32通り
(4) 8通り

解説

(1)

AからBへ行くには、右へ5回、上へ3回移動することになります。これらを並び替えて何通り出来るかが答えです。

計8回移動するうちどの3回を上にするか、を考えるので、

8C3=56通り

(2)

AからCへ行くには、右3回、上1回なので、4C1=4通り。

CからBへ行くには、右2回、上2回なので、4C2=6通り。

よって4×6=24通り

(3)

AからBへ行く全ての方法から、A-C-Bとなる方法を除けばよいから、(1)と(2)の答えの差をとって、

56-24=32通り

(4)

AからCに行く方法と、CからDを通らずにBに行く方法のかけあわせで求まる。

AからC…(2)より4通り

CからDを通らずB…右右上上か、上上右右と移動する2通り

よって4×2=8通り

高校入試だとしてもおかしくない問題でした。

前回

中学生でも解ける大学入試数学７８★★ 2019年数オリ予選

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