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【数学小話】病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線

前回はそこまででしたが、今回はディリクレの関数のように、本当の意味で病的な話になります。

 

数学における直線の扱いで「太さ、幅をもたない」という特徴がありますよね。この直線を何回も折り曲げたり曲げたりして出来たものが(幅のある)領域を埋め尽くしてしまう、という奇妙な例の紹介です。空間を埋め尽くす曲線はいくつもありますが、最もはてなブログに投稿しました #はてなブログ有名と思われるヒルベルト曲線について見てみます。

 

 

ヒルベルト曲線

歴史的に最初に正方形の全ての点を通る曲線(折れ線も曲線とします)を考えたのはペアノです。1890年、ペアノはペアノ曲線と呼ばれる曲線を考えました。

翌年、1891年にヒルベルトが考案したのがヒルベルト曲線です。こちらの方がより図で見て分かりやすい、ペアノ曲線よりシンプルな曲線でした。

最初にペアノが「こうすると出来てしまう」と発表し、翌年ヒルベルトが「こうするともっと簡単に出来てしまう」と発見した、という流れが見えますね。

さて、そのヒルベルト曲線を実際に作る手順をご紹介します。正方形の中の全てを点を通る折れ線を、次のように帰納的に作ることができます。

①「コ」の形の折れ線を折れ線1とする

②折れ線1を2分の1に縮小したものを4つ用意し、上2つは向きそのまま、下二つはそれぞれ(お互い逆方向に)90°回転させて置く。それぞれの小さい折れ線1をつなげて折れ線2とする(図参照)

③折れ線2に対して②と同じ操作をして折れ線3を得る

④以後、折れ線n-1から折れ線nを次々と作る

f:id:hby:20200527134937j:plain

これを限りなく繰り返していくことで、得られる折れ線はどんどんと複雑な、正方形内をぎっちりとひしめくようになります。この手順を限りなく繰り返していって出来る曲線、つまりn→∞とした極限の折れ線がヒルベルト曲線です。

有限のnで止めた場合の折れ線は当然正方形内の全ての点を通るわけではありません。しかし、n→∞とした極限であれば、フラクタル図形となりますし、全ての点を通ることになります。

これはまさに病的な例です。本来幅のない直線が、正方形という幅のある領域内の全ての点を通るのです。これはかなり直感に反しますよね。どうやっても折れ線には隙間があるように見えるのですが(nが有限の時はどれも隙間が空いている)、極限の折れ線はどうやら隙間がないのです。意味が分かりませんね。

 

また、この曲線を応用することで、立方体の中を埋め尽くす曲線も作ることが出来ます。(画像はWikipedia ヒルベルト曲線より引用)

f:id:hby:20200605034814g:plain
これは3ステップくらいの図でしょう。詳しくは触れませんが、帰納的に繰り返していってどんどん複雑な折れ線になっていくのだろう、ということは想像に難くないと思います。

また、2次元を埋め尽くすことができ、3次元もできたら、さらに一般のn次元の超立方体を埋め尽くす曲線も構成することが出来ます。もちろん高次元を我々が直接図示したり見ることは出来ませんが。

 

 

全ての点を通ることの証明

有限のnにおける折れ線の図は想像できます。nを9999不可思議まで増やすと1×1の正方形内をひしめくような曲線が出来ることは想像出来ます。しかしその正方形を拡大してみれば、やっぱりそこには隙間があるはずです。n→∞とした極限だと全ての点を通る、と言われても全く想像できません。ではこれをどう考えるかというと、この曲線を、
0から1までの実数をxy座標の点に対応させる関係
と思います。

ヒルベルト曲線の最初の折れ線1で見てみます。数直線の0から1までの区間を、正方形内の折れ線に対応させます。数直線上にある点が0の時は折れ線の一番左下から始まり、数直線上を1まで点が動くと、それに応じて正方形内の折れ線上を点が左下から右下まで動きます。

f:id:hby:20200605040648j:plain

例えば数直線上の0.5は折れ線のちょうど中間、(0.5,0.75)という点が対応し、数直線上の1/3は折れ線の1/3の地点、(0.25,0.75)という点が対応します。この画像の左にある数直線上を点が動くと、右にある正方形内の赤い折れ線上を点が動くイメージが掴めましたでしょうか。この対応が折れ線の正体だと思いましょう。

つまり、今見た折れ線1について、
数直線上の値t\ (0\leqq t\leqq1)に対して、座標平面上の点(x_1(t),y_1(t)) が対応する。
というような関数x_1(t),y_1(t)が存在します。例えば、(x_1(0.5),y_1(0.5))=(0.5,0.75)ですね。

これで、折れ線1を2つの関数の組として表すことができました。

では、折れ線2でも同じことをして関数 x_2(t),y_2(t)が得られます。

f:id:hby:20200605042118j:plain

(x_2(0.5),y_2(0.5))=(0.5,\frac{5}{8})(x_2(\frac{1}{3}),y_2(\frac{1}{3}))=(\frac{1}{8},\frac{7}{8})ですね。 これで折れ線2を表す関数の組が出来ました。

以下、同様に、折れ線nに対して、0以上1以下の実数tに対して、関数 x_n(t),y_n(t)が得られます。折れ線nを関数の組 x_n(t),y_n(t)で表すことが出来ました。

次に、この関数の組の列を考えます。各関数はnの値が増えるごとに少しずつ変化していきますが、nが限りなく大きくなると関数はほぼ変化しなくなります。
(x_1(t),y_1(t)),(x_2(t),y_2(t)),(x_3(t),y_3(t)),\dots
すなわち、n→∞とすると、ある関数の組 X(t),Y(t)に収束します。これがヒルベルト曲線の正体です。

実は、このようにして得られた関数の組X(t),Y(t)は、tを0から1まで動かすことで、正方形内の全ての点を通ることが示されます。

これで、ヒルベルト曲線が正方形内の全ての点を通ることが証明出来ました。

 

極限の曲線がどうなっているか書くことは出来ませんが、関数の組という形で、間接的に「見る」ことが出来、関数の話に落とし込んで証明できるという、なかなかテクニカルな話でした。

 

written by k

 

【数学小話】病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式

今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。

 

 

 

簡単?な因数分解

まずは簡単な因数分解から始めましょう。
x^2-1
当然、(x-1)(x+1)因数分解されます。

 

では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で)因数分解してみましょう。
①x^3-1\\②x^5-1

 

簡単ですかね?答えはこちら。

①(x-1)(x^2+x+1)\\②(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)

 

まだまだ行きます。
③x^4-1\\④x^8-1

 

答えはこちら。
③(x-1)(x+1)(x^2+1)\\④(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)

 

では、こちらはどうでしょう。
⑤x^6-1\\⑥x^9-1

 

少し難しいですね、こんな風にできます。
⑤x^6-1=(x^3)^2-1\\=(x^3-1)(x^3+1)\\=\underline{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)}\\⑥x^9-1=(x^3)^3-1\\=(x^3-1)(x^6+x^3+1)\\=\underline{(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)}

⑥は、x^6+x^3+1がこれ以上因数分解できないことを確認するのが簡単ではありませんが、ここではそこはよしとします。

 

さて、ここまで様々なx^n-1を見てきましたが、次の共通点があるように見えます

(a) どれも(x-1)を因数にもつ

(b) nが素数なら、(x-1)でしか割り切れない。

(c) nがいくつであっても、係数は0か±1しか出てこない

 

実は、(a)は数IIで習う因数定理を使えば簡単に証明でき、(b)は難しいですが証明できます。

そして、(c)は成り立ちません。

 

 

 

 

不思議な因数分解

0、±1でない係数が初めて現れるのは、n=105です。

x105-1=(x-1)(x2+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)(x12-x11+x9-x8+x6-x4+x3-x+1)(x24-x23+x19-x18+x17-x16+x14-x13+x12-x11+x10-x8+x7-x6+x5-x+1)(x48+x47+x46-x43-x42-2x41-x40-x39+x36+x35+x34+x33+x32+x31-x28-x26-x24-x22-x20+x17+x16+x15+x14+x13+x12-x9-x8-2x7-x6-x5+x2+x+1)

最初に見つけた人は驚いたのではないでしょうか。さて、その後もいくつかのnで係数に絶対値が2の項が登場し、n=385では、係数が絶対値3の項も登場します。(長いのでここには書ききれません)

勿論、次数が高くなればなるほど因数分解をするのは困難になります。コンピューターがないと無理でしょう。

ちなみに、絶対値100の係数が登場するのはn=40755です。n=40755は、絶対値57から342が初めて登場します。

 

 

 

 

円分多項式

さて、いくつかのx^n-1因数分解を見てみましたが、さらに面白い関係があります。n=2,3,6を見比べてみましょう。

x^2-1=(x-1)(x+1)\\x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\\x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

 

何かに気づきましたか?ではもう一例、n=2,5,10で見てみましょう。

x^2-1=(x-1)(x+1)\\x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\\x^{10}-1=(x-1)(x+1)\\(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)

 

2×3=6で、n=6の因数にn=2,3に登場したものが登場しています。

2×5=10で、n=10の因数にn=2,5に登場したものが登場しています。

nがどんな素因数を持つかと、x-n-1がどんな因数を持つかが密接に関係しているのです。この性質を利用して大きな数をうまく素因数分解出来ないか、なんてことが考えられたりもします。

 

さてタイトルにもある円分多項式ですが、これは\Phi_n(x)と書かれ、x^n-1因数分解に出てくる因数のうち最大次数のもので、それ以下のnで登場していないものを指します。

\Phi_2(x)=x+1\\\Phi_3(x)=x^2+x+1\\\Phi_4(x)=x^2+1\\\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1\\\Phi_6(x)=x^2-x+1

 

この多項式は、1の原始n乗根全てを解に持つ多項式です。原始n乗根とは、n乗して初めて1になる複素数のことです。この円分多項式は数論においてとても重要な存在で、まだまだ分かっていないことが多いです。

 

 

 

written by k

 

【数学小話】病的な数学④ ディリクレの関数

前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。

 

 

ディリクレの関数

そもそも、中学で習った関数の定義は、

xの値を定めるとそれに対応したyがただ一つに定まるとき、yはxの関数であるという

でしたね。この定義を守っていれば、次のようなものもれっきとした関数なのです。こちらがディリクレの関数と呼ばれるものです。

f(x)=\begin{cases} 1\ (xが有理数のとき)\\0 \ (xが有理数でないとき) \end{cases}

実数から好きにxを持ってきて、それが有理数無理数かによって1か0の数字が対応する。ちゃんと一つの数に対応していますね。これも関数です。

さて、どんなグラフになるでしょうか?いったん立ち止まって考えてみてください。

 

 

 

答えはこちら。

f:id:hby:20200509152538j:plain

y座標が0と1で、二本の線があるように見えます。が、これは厳密には線ではありません。
定義をもう一度見ます。

f(x)=\begin{cases} 1\ (xが有理数のとき)\\0 \ (xが有理数でないとき) \end{cases}

有理数なら1、無理数なら0という関数でした。実は、実数において有理数無理数もびっしりと詰まっていて、どんな有理数にもそのいくらでも近くに無理数が、どんな無理数にもそのいくらでも近くに有理数が、存在します。

このグラフは原点を通りますが、点(0,1)は通りません。この時点でy座標が1の”線”は繋がっていない、途切れていることが分かります。他にも点(1,1)も、点(1/2,1)も、点(1/3,1)も、(1/4,1)も、…点(1/n,1)も、このグラフは通りません。x座標が有理数のところでy座標が1の"線"は途切れるわけですから、このグラフはいたるところで途切れているといえます。同様に、y座標が0の"線"もいたるところで途切れているわけです。

原点から出発してほんの少しでもx座標を増やすと、とたんに上側に移動し、また少しでもx座標を増やすと、下側に移動する、そんなイメージです。

つながった線ではなく、あくまでも一つ一つは離れている点がぎっしりとたくさん集まっていて、線にしか見えないだけです。そういう意味で、この関数はいたるところ不連続であると呼ばれます。

 

リーマン積分できないことの証明

ここでは、ディリクレの関数の定積分ができないことを見ていきます。リーマン積分とは、高校で習う定積分のことです。
そもそも数学の教科書で定積分は、不定積分の差として定義されることがあります。

関数f(x)不定積分の1つをF(x)とすると、

\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

私の高校の教科書では、こう定義した上で、これがなぜグラフの曲線で囲まれた部分の面積になるのかの説明が続いていました。これは置いといて、いったん区分求積法の観点から定積分を考えていきます。

区分求積法

グラフy=f(x)f(x)\geqq0\ (a\leqq x\leqq b)を満たすとして、
x軸,\ y=a,\ y=b,\ y=f(x)で囲まれた部分の面積を求めたい、というのが出発点です。図に書けば、次の青い部分です。

f:id:hby:20200511155009j:plain

まず、nを自然数とし、aからbまでの区間をn等分して、このようにn個の長方形で面積を近似します。次の図は、下から近似した図と呼びましょう。

f:id:hby:20200511155511j:plain

正確に言うと、下から長方形で近似するとは、それぞれの分割された区間で一番値が小さいf(x)を長方形の高さとします。図では各区間の左端ですね。

この図では、長方形と本来の求めたい面積との間にそこそこ隙間がありますが、分割数nをどんどん大きくすれば、長方形の面積の和は少しずつ増えていって、本来の求めたい面積に近くなるはずです。

f:id:hby:20200511160930j:plain

分割数がnのときの下から近似した長方形の和をs_nと書くことにしましょう。nが増えると、長方形とグラフの間の白い隙間が減っていきますから、s_nは増加していくといえます。

次に、同様に上から近似もしていきます。次のような図を上から近似した図と呼ぶことにしましょう。

f:id:hby:20200511160036j:plain

正確に言うと、上から長方形で近似するとは、それぞれの分割された区間で一番値が大きいf(x)を長方形の高さとします。図では各区間の右端ですね。

この図ではグラフからはみ出た部分がそこそこありますが、nを限りなく大きくしていけば、はみでる部分がどんどん小さくなっていきます。(下から近似したときと同じような図をイメージしてください)分割数がnのときの上から近似した長方形の和をS_nと書くことにします。こちらはnを増やすと、S_nは減っていくといえます。

nを限りなく大きくしていったとき、s_nは増加していき、S_nは減少していき、両者がじりじりと同じ値に限りなく近づくならば、その行先こそが求めたい面積じゃないか。と考えます。

\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=aならば、\\\displaystyle\int_a^bf(x)dx=a

これでもって定積分を定義することもできます。ここで重要なのは、
リーマン積分可能であるためには、上からの近似と下からの近似が同じ値に収束する
ということがです。ディリクレの関数はこの性質を満たさないので、ディリクレの関数はリーマン積分不可能であるといえます。詳しく見ていきましょう。

 

 

リーマン積分できない証明

ここで説明した区分求積法の考えによるリーマン積分では、下からの近似と上からの近似が同じ値に近づかないといけません。では、このディリクレの関数ではどうなるのでしょうか。ディリクレの関数を0から1まで積分するとしましょう。

・下からの近似

0から1の区間をどんなに細かく刻んでも、その各区間のなかに必ず有理数無理数もある(どの区間にもf(x)が0になる点も1になる点もある)ので、全ての長方形の高さは0にります。よって、nをいくら増やしていってもs_n=0です。

・上からの近似

同様に各区間における全ての長方形の高さは1になり、nをいくら増やしていってもS_n=1です。

 

nがいくつであってもs_n=0かつS_n=1で不変なので、極限も
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=0\\\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=1
と、同じ値に収束しません。よって、リーマン積分不可能です。

つまり一言でいえば、
上からの長方形による近似と下からの長方形による近似が同じ値に収束しないからリーマン積分不可能である。
ということです。

さて、なぜわざわざ"リーマン"積分と呼んでいたかというと、別の"積分"があり、そちらではディリクレの関数は"積分"可能だからです。

 

 

ルベーグ積分

ルベーグ積分はこのディリクレの関数のようないたるところ不連続な関数でも積分出来るように拡張されたものです。

ルベーグ積分測度という新しい"面積の測り方"を導入して行う積分です。ここでは詳しく触れませんがルベーグ積分は、
リーマン(定)積分可能な関数は全て積分可能で同じ値になり、さらにリーマン積分出来ない関数も積分可能である
という、いわばリーマン積分の上位互換のようなものです。

ルベーグ積分のときは記号の約束として「dx」でなく「dμ」と書きます。(μが測度を表す記号です)そして、ディリクレの関数をルベーグ積分すると、0になります

 \displaystyle\int_{[a,b]}fd\mu=0

インテグラル∫の下に[a.b]とありますが、これは単純にaからbまで積分するという意味だと思ってください。

実は、ディリクレの関数をルベーグ積分すると0になるということは、有理数より無理数の方が圧倒的に多く、ディリクレの関数は1になる点より0になる点の方が多いことと深く関係しています。 

 

ルベーグ積分は大学の数学の範囲です。ルベーグ積分関数解析、確率論、数理ファイナンスなどでよく使います。

物理は、極限と積分の交換が可能かとか、いちいち厳密に確認せずにちゃっちゃと計算してしまうことが普通ですが、そこらへんをしっかり立ち止まって考える理論物理屋ルベーグ積分を使うことがあります。

 

まあ、現実世界にあるほぼ全ての関数は連続であるとか、十分よい性質を持っているからリーマン積分可能で、現象を細かく厳密に突き止めていくとディリクレの関数のような奇妙な例も考える必要が出てきて、その解決としてルベーグ積分がある、といったイメージです。重箱の隅をつつくようなことをしないのであればリーマン積分で十分だな、ということです。 

 

ディリクレの関数の書き換え

ディリクレの関数は次のように書き換えることが出来ます。

\displaystyle f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{k\rightarrow\infty}\cos^{2k}{(n!\pi x)}

cosさえ分かっていればそこまで難しくありません。

・xが有理数なら、nが十分大きければn!\pi xはπの整数倍になります。nが十分大きければ、xの分母がn!で払われるからです。するとcosの値は±1になるので、2k乗すると(偶数乗なので)1になります。

・xが無理数なら、nがいくつであろうとn!\pi xはπの整数倍になりません。このとき|\cos{(n!\pi x)}|<1であるので、これを何乗もしていけば0に収束します。つまり\cos^{2k}{(n!\pi x)}\rightarrow0です。

 

 

今日は以上です。とても面白い関数でした。

 

written by k

 

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