中学生でも解ける大学入試数学４７★★ 1999年神戸大

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中学入試でも見そうな問題です。ただ、最後の問題は少し難しいです。

問題
★★

2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていく。

(1) 1003は何番目の数か。

(2) 2000番目の数を求めよ。

(3) mを自然数とする。1番目から2m番目までの数を全て足した値をmを用いて表せ。

ヒント、着眼点

よくある倍数に関係する問題です。2の倍数、3の倍数を気にするときは、たいていその最小公倍数である6の倍数に注目することが多いです。

自然数を書いていき、2の倍数でも3の倍数でもないものを赤く色分けしてみます。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,...

先ほど6の倍数といいましたが、自然数を6つずつ分けてみると、周期性が見えてきます。「赤、黒、黒、黒、赤、黒」が繰り返されていますね。

以下、解答

解答

(1) 335

(2) 5999

(3) 6m²

解説

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,...

この並びを参考にしつつ、2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていくと、

1,5,7,11,13,17,19,23,...

奇数番目は6で割って1余る数が、偶数番目には6で割って5余る数が来ます。

以上から、

k番目の奇数は2k-1と表され、2k-1番目の数は6k-5

k番目の偶数は2kと表され、2k番目の数は6k-1

と表されます。

1003は6で割ると1余る数なので、6k-5=1003とすると、k=168

つまり、1003は(168番目の奇数)番目に出てくる。168番目の奇数は、

2×168-1=335

(2)

n=2000のとき、nは偶数で、2k=2000とするとk=1000より1000番目の偶数である。よって、6×1000-1=5999

(3)

2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていくと、

1,5,7,11,13,17,19,23,...

この列は6k-5で表される数と6k-1で表される数が交互に並んでいるので、1番目から2m番目までには6k-5のタイプの数と6k-1のタイプの数がそれぞれm個ずつある。

6k-5の数の1個目からm個目の和をmで表すと、

$1+7+13+19+\dots+6m-5\\=(6\times1-5)+(6\times2-5)+(6\times3-5)+(6\times4-5)+\dots+(6\times m-5)\\=6(1+2+3+4+\dots+m)-5m\\\displaystyle=6\times\frac{m(m+1)}{2}-5m=3m^2-2m$

同様に、6k-1の数の1個目からm個目の和をmで表すと、

$5+11+17+23+\dots+6m-1\\=(6\times1-1)+(6\times2-1)+(6\times3-1)+(6\times4-1)+\dots+(6\times m-1)\\=6(1+2+3+4+\dots+m)-m\\\displaystyle=6\times\frac{m(m+1)}{2}-m=3m^2+2m$