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中学生でも解ける大学入試数学15★★ 2013年早大(商)

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2連続2013年早稲田大学商学部からの出題です。

 

問題

★★

次の条件を満たす自然数a,b、正の奇数cの組(a,b,c)を考える。

2a=(4b-c)(b+c)

(1) b=13のとき、a,cの値を求めよ。

(2) a≦2013である組(a,b,c)の個数を求めよ。

 

 

ヒント、着眼点

左辺は2のa乗なので、右辺は2以外の素数で割り切れません。つまり、

4b-cとb+cの値の候補は1,2,4,8,16,32,64,...のみです。

あとは、bとcの偶奇について考え、4b-cとb+cがとりうる値を考えましょう。

cは奇数です。これが重要。

 

以下、解答

 

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解答

(1) a=6,c=51

(2) 503個

 

 

解説

4bは偶数、cは奇数なので4b-cは奇数になります。

(1)

ヒントで述べたように、4b-cは1,2,4,8,...しかとりえないので、4b-c=1しかありえません。

b=13のとき、4b-c=1となるcは51。

この時b+c=64なので、a=6。

 

(2)

4b-c=1は確定です。この式を変形すればc=4b-1なので、これを与式に代入し、

2a=1×(5b-1)

あとは5b-1が2の累乗(ただし21≦5b-1≦22013)となるようなbを考えます。

2a+1=5b

と変形すれば、左辺が5の倍数になるaを考える、ともできます。

試しにa=1,2,...と順番に代入して左辺が5の倍数かどうか調べていくと、

21+1=3

22+1=5

23+1=9

24+1=17

25+1=33

26+1=65

27+1=129

28+1=257

29+1=513

210+1=1025

211+1=2049

どうやら4つおきに5の倍数となるようです。なぜそうなるかなどの詳しい証明はやめておきます。高校以上の知識がないと簡単には証明できないので。

さて、a=2のとき22+1=5でこのときb=1、すると4b-1=cよりc=3

このように、aとbの組が分かれば自動的にcもわかります。

つまり、a=2,6,10,14,...のとき、自動的に1つの(a,b,c)の組ができるので、1から2013の中で4で割って2余る自然数の個数が答えになります。

2013÷4=502...3よって4で割って2余るものは503個

 

 

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