中学生でも解ける外伝 高校入試難問35★ 灘高
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★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。
★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。
★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。
問題
★
次の図で、AB=40,AC=30,BD=20である。
(1) AE:BEを求めよ。
(2) AEを求めよ。
ヒント、着眼点
高校入試で2つの線分の長さの比を問われた時は、2つの三角形の面積比から持ってくるか、相似な2つの三角形の相似比から持ってくることが多いです。
灘高校だからとうろたえる必要はありません。 相似な2つの三角形を見つけてください。
以下、解答
解答
(1) 3:2
(2) 36√3-12√7
解説
(1)
△AEC∽△BEDである。(直角より∠ACE=∠BDE、対頂角より∠AED=∠BED、2組の角がそれぞれ等しい。)
相似比は、AC:BE=3:2
よってAE:BE=3:2
(2)
(1)より、AE=3x,BE=2xとおく。
△ABDで三平方の定理より、AD=20√3
△ABCで三平方の定理より、BC=10√7
よって、CE=10√7-2x,DE=20√3-3xであるから、
3:2=(10√7-2x):(20√3-3x)を解いて、
x=12√3-4√7
AE=3x=36√3-12√7
補足
この問題の図を見たら、円周角の定理の逆が適用できることに気づきましょう。2つの直角三角形の斜辺が共通しているので、その斜辺が直径となるような円が描けます。
以下のような円が描けます。(下の図は微妙にうまく描けていないですが)
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written by k