中学生でも解ける大学入試数学２８★★ 1998年早稲田大学(人間科)

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問題
★★

次の $\displaystyle \square$ に当てはまる整数をそれぞれ答えよ。

a,dは1から9の数字、b,c,e,fは0から9の数字とする。

abcdefで表される自然数をNとする。前の3桁と後の3桁を入れ替えてできるdefabcという自然数をMとすると、MはNの6倍から35を引いた数となった。

abcで表される自然数をx、defで表される自然数をyとおくと、

$\displaystyle \fbox{ア}x=\fbox{イ}y+5$

となる。この式は

$\displaystyle y=\fbox{ウ}x+\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}(x-1)$

と変形される。したがってx-1は $\displaystyle \fbox{オ}$ の倍数である。

$\displaystyle 100\leqq x\leqq999,\ 100\leqq y\leqq999$ に注意するとNは $\displaystyle \fbox{カ}$ である。

ヒント、着眼点

文章の誘導に沿って解いていけばよいでしょう。

特にいうことはありません。

以下、解答

解答

ア 857

イ 142

ウ 6

エ 5

オ 142

カ 143863

解説

N=1000x+y

M=1000y+x

と表すことができるので、

M=6N-35

5999x=994y+35

問題文から両辺が7で割り切れることが予想できるので、7で割ってみると、

857x=142y+5

ア...857 イ...142

142y=857x-5と移項し、両辺を142で割って、

y=857/142x-5/142

ここで、857/142=852/142+5/142=6+5/142より、

y=6x+5/142(x-1)

ウ...6 エ...5 ...142

よってx-1は142の倍数。

よってxの候補は143,285,427,...(142の倍数に1を足したもの)

y=6x+5/142(x-1)より、yが999を超えないようなxは143のみ。

よってx=143

するとy=863

よってN=143863

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written by k