中学生でも解ける外伝高校入試難問３６★★★ 巣鴨高

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

問題

★★★

図のように、△ABCの2頂点A,Cを通る円をかき、円周が辺AB,BCと交わる点をそれぞれD,Eとする。

AD=DE=6cm,DB=8cm,BE=7cmのとき、次に答えよ。

(1) 線分ECの長さを求めよ。

(2) 線分CDの長さを求めよ。

(3) 円Oの半径を求めよ。

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ヒント、着眼点

△BDE∽△BCAです。それを用いれば、(1)はすぐに解けます。方べきの定理を知っているのであれば、それで解いてもよいでしょう。方べきの定理はもともとこの相似から導かれる定理なので結局同じ解き方をしているといえます。

(2)はやや難問です。適切な補助線が引けないと厳しいです。

(3)は(2)の答えからあることに気づけばとけるかもしれません。

以下、解答

解答

(1) 9cm

(2) 12cm

(3) 8√15/5cm

解説

(1)

△BDE∽△BCAであり(共通より∠DBE=∠CBA、円に内接する四角形の対角の和は180°だから∠BCA+∠ADE=180°、∠BDE+∠ADE=180°、よって∠BCA=∠BDE、2組の角がそれぞれ等しい。)、相似比は、BE:BA=2:1

よってBC=2BD=16なのでEC=16-7=9cm

(2)

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Cから辺ABに垂線を引き、その交点をHとする。AH=xとおく。△ACHと△BCHで三平方の定理から、

$\displaystyle 12^2-x^2=16^2-(14-x)^2$ から $\displaystyle x=3$

するとAH=DH=3であるから,

CD=CA=12cm

(△ACHと△DCHが2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ACH≡△DCH)

(3)

△ACDはCA=CDの二等辺三角形なので、円の中心Oは線分CH上にある。

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三平方の定理より、CH=3√15、Oから辺CAに垂線を引き、交点をIとする。△OACはOA=OCの二等辺三角形であるから、CI=AI=6で、△COI∽△CAIより、CO:CI=CA:CH

CO:6=12:3√15、よってCO=8√15/5

↓ 前回と次回

written by k