中学生でも解ける外伝高校入試難問７４★★ 東大寺学園高

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新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。

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３０★★　巣鴨高

３５★　　灘高

３６★★★巣鴨高

３８★★　都立西高

問題
★★

正の数 $x$ の整数部分を $[x]$ と表す。例えば、 $[3.14]=3$ である。
正の数 $x$ が
$[x]+[2x]=7,\\9x^2-9[2x]\ x+28[x]=0$
を満たすとき、 $x$ および $[x]$ を求めよ。

ヒント、着眼点

$[x]+[2x]=7\dots①\\9x^2-9[2x]\ x+28[x]=0\dots②$

②の方が複雑ですから、①から攻めるのがよいでしょう。
[x]も[2x]も整数であることは確定で、それぞれいくつなら和が7になるかを考えてください。

以下、解答

解答

[x]=2

x=8/3

解説

$[x]+[2x]=7\dots①\\9x^2-9[2x]\ x+28[x]=0\dots②$

①から考える。[x]の値を絞る。

[x]=1とすると、1≦x<2より2≦x<4だから、[2x]=2,3 よって①は成り立たない。

[x]=2とすると、2≦x<3より4≦x<6だから、[2x]=4,5 よって
[x]=2,[2x]=5のとき、①は成り立たつ。

[x]=3とすると、3≦x<4より6≦x<8だから、[2x]=6,7 よって①は成り立たない。

[x]=4とすると、[2x]≧4より、①は成り立たない。

以上より、[x]=2, [2x]=5

これらを②に代入すると、
$9x^2-45x+56=0$
となるので、これを解くと、
$x=\frac{7}{3},\ \frac{8}{3}$

ここで、
[2x]=5より5≦2x<6すなわち2.5≦x<3

なので、これを満たすのは $x=\frac{8}{3}$

まあまあ難しいのかな？と思います。

[x]=1のときは[2x]=2,3
[x]=2のときは[2x]=4,5

という部分が思いつけば、解けると思います。このような処理を思いつくorやったことあるかが分かれ目でしょうか。また、[2x]=5なのでx=7/3は除外することを忘れないように注意。

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written by k

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