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中学生でも解ける大学入試数学５４★★ 1999年大阪大

中学生でも数学

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問題
★★

自然数の組(a, b)で、aからbまでの自然数全ての和が500となるようなa, bの組を全て求めよ。ただしa<bとする。

ヒント、着眼点

aからbまでの自然数全ての和は、aとbを用いてどのように表されるのかが重要になりそうです。

さて、このような公式をご存知でしょうか。

1からnまでの自然数全ての和は、

$\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$

と表される。

この公式の証明のアイデアが、aからbまでの和を求めるのに役立ちそうです。

証明

1からnまでを横にならべ、その下にnから1までを並べる。縦に並んだ2つの数を見ると、どれも和がn+1になっている。この和が $n+1$ である2つの数字の組が $n$ 組あり、それらの和は $n(n+1)$ となる。これは(1からn) 2セット分に相当するから、1からnまでの和は $\frac{n(n+1)}{2}$ となる。下図参照。

f:id:hby:20190608003734j:plain

以下、解答

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解答

$\underline{(a,b)=(8,32),(59,66),(98,102)}$

解説

aからbまでの和は、(1からbまでの和)-(1からa-1までの和)と表される。よって、

$\displaystyle \frac{b(b+1)}{2}-\frac{(a-1)a}{2}=\frac{b(b+1)-(a-1)a}{2}$

と表される。これが500と等しいから、

$\displaystyle\frac{b(b+1)-(a-1)a}{2}=500\\ b(b+1)-(a-1)a=1000$

ここで、左辺を因数分解すると、

$b(b+1)-(a-1)a\\=b^2+b-a^2+a\\=b^2-a^2+b+a\\=(b^2-a^2)+(b+a)\\=(b+a)(b-a)+(b+a)\\=(b+a)(b-a+1)$

となる。また、 $1000=2^3\times5^3$ であるから、

$(b+a)(b-a+1)=2^3\times5^3$

となる。 $b+a,\ b-a+1$ の値としてとり得るものを考える。

まず、 $a,\ b$ は自然数だから $b+a＞0...①$ である。よって、積が1000ということから、 $b-a+1＞0...②$ でなければならない。また、明らかに $b+a\geqq b-a+1...③$ である。

$a,\ b$ の偶奇によらず、 $b+a,\ b-a$ の偶奇は一致するから、 $b+a,\ b-a+1$ の偶奇は一致しない...④ つまり、片方が偶数ならば、もう片方は必ず奇数である。

①,②,③,④を考慮すると、考えられる値の組は、

$b+a=1000,\ b-a+1=1\\b+a=200\ \ ,\ b-a+1=5\\b+a=40\ \ \ \ ,\ b-a+1=25\\b+a=125\ \ ,\ b-a+1=8$

これらで全てである。

$\cases{b+a=1000\\b-a+1=1}$

これを解くと $a=b=500$ となって、 $a＜b$ に反する。

$\cases{b+a=200\\b-a+1=5}$

これを解くと $a=98,\ b=102$ となる。

$\cases{b+a=40\\b-a+1=25}$

これを解くと $a=8,\ b=32$ となる。

$\cases{b+a=125\\b-a+1=8}$

これを解くと $a=59,\ b=66$ となる。

以上より、

$\underline{(a,b)=(8,32),(59,66),(98,102)}$

補足

1からnまでの自然数全ての和は、

$\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$

と表される。

これを使えば、1からa-1までの和は、nにa-1を代入すれば、

$\displaystyle\frac{(a-1)a}{2}$

となります。

$b+a=1000,\ b-a+1=1\\b+a=200\ \ ,\ b-a+1=5\\b+a=40\ \ \ \ ,\ b-a+1=25\\b+a=125\ \ ,\ b-a+1=8$

これらの組をもれなく全て見つけるには、1000の素因数分解の結果を利用します。 $1000=2^3\times5^5$ なので、 $b+a,\ b-a+1$ どちらかに $2^3$ が入ります。偶奇が異なる、ということから、片方に $2^2$ 、もう片方に $2$ という様な振り分けはできません。(どちらも偶数になってしまうため)

$b(b+1)-(a-1)a$ の因数分解は、受験生であればスラスラとできて欲しいところ。

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written by k

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