【数学小話】ほんとうに0.999...=1なのか①　1/3を使う証明は間違い？

0.999...=1

これはどうやら正しいらしい、でも正直あまり納得いかない、という人が多いかと思います。

たまに等しくないかのように言う人がいるので最初に断言しますが、この式は正しいです。ただ、この正しさを正確に説明しようとするとなかなか難しいのです。さまざまな面倒な事情があるため、誤解してしまう人がいるのはある意味仕方のないことです。今回はこの話にまつわるよくある誤解や微妙な証明を斬って、ほんとうの正しい説明をします。

前提として押さえておきたいこと
1/3を使った証明
分数に直す方法を使った証明
さらにややこしいお話

前提として押さえておきたいこと

・有理数

整数aと0でない整数bでもってa/bという形で表すことのできる数のこと。
例えば12=12/1、0.2=1/5、0.333...=1/3よりこれらは有理数。

・有限小数

小数点以下の桁が有限である小数のこと。0.1、0.1234567、0.99999999999999など。

・無限小数

小数点以下に数字がいつまでも続く小数のこと。0.123123...、π、√2など。

・循環小数

0.123123...のように、小数点以下が循環している小数。循環小数はすべて無限小数。

・0.999...の意味

0.999...は、小数点以下に9がいつまでも続く無限小数です。有限小数ではないということを強く意識してください。
よくある誤解として、「小数点以下ずーーっと進んだ先に最後の9がある、でも小数点以下の桁数があまりにも大きすぎてたどり着けないだけ」というものがありますが、まったくもって違います。無限小数というのは、文字通り「無限」、つまり「限りが無い」のです。どこまで進んでもまったく同じように9が並んでいるだけで、そこには終わりはありません。どこまでも「無限に」続いている、そんな状態です。
同じ誤解から来ているのか、「0.999...に0.000...01を足したら1になる。だから0.999...と1は違う数」という説明をたまに目にしますが、これも間違い。0.000...01を足したら1になる、ということは、足される数は小数点以下に最後の9がどこかにあるということになってしまいます。勝手に無限小数の0.999...を有限小数とみなしていることになってしまうのです。

さて、この0.999...=1問題なのですが、「無限、極限というものを正しく理解していない」の一言で解決するのがほとんどなのですが、無限、極限の説明をする前にいくつか話しておきたいことがあるので、まずはそれらから見ていきます。

1/3を使った証明

$\displaystyle\frac{1}{3}=0.333\dots$

である。この式の両辺を3倍して、

$1=0.999\dots$

実は、これは微妙な証明です。小学生でも理解できる、つけいる隙のない証明に見えますが、実は若干のあいまいさやごまかし(と言えるほどのものではないかもしれませんが)があるのです。

微妙な点①　本当に3倍してそうなるのか

え、あたりまえじゃないか、と感じた方がほとんどでしょうが、実は大手を振って正しいとは言いきれません。

$0.333\ldots \times3=0.999\dots$

この計算が当たり前だと思っている人のほとんどは、こう考えているでしょう。
「小数第1位の3を3倍して9、小数第2位の3を3倍して9、小数第3位の3を3倍して9、...とやっていけば小数点以下の全ての位に9が現れる」

ちょーーとまった。

我々が小学生で習ってきた掛け算でのルールは「下の位から順に掛け算する」ではありませんでしたか？上の位から掛け算をすることは推奨されていません。0.333...×3を上の位からやるのはいかがなものでしょうか。

ただ、その指摘をすると、また別に面倒な問題が湧き上がります。

微妙な点①-1　ここでの「下の位」とは？

今回の0.333...は、無限小数ですから、「一番下の位」というものがありません。0.333...における「下の位」とは何を指しているのでしょうか。正解は「下の位などない」です。ずっと守ってきたルール「下の位からやる」を守るもクソもありません。

微妙な点①-2　普段の計算も、上の位からやってもうまくいくことがある

0.1234×2=0.2468は上の位からやっても全く同じ答えが得られます。

この例をみていると、繰り上がりがないからうまくいってるだけなのでは、と思うかもしれませんが、繰り上がりがあったとしても、なんとかうまくできます。

13×5をやってみましょう。
10の位の1を5倍して5、この数字をいったん「保留」します。
1の位の3を5倍して15、ここで繰り上がった1をさっき保留した5と足して6を得ます。よって答えは65
なんとかなりました。若干無理があるようにもみえますが。

じゃあ0.333...×3も上の位からやって0.999...としてよいじゃないか、という声が聞こえてきそうですが、そうは問屋が卸しません。

微妙な点②　無限小数の掛け算

残念ながら小学校から読んできた教科書によると、「各桁について下から順番にかけていく」という操作は、有限小数までに対してしか説明されていません。そもそも無限小数に対して直接掛け算をすることについては言及されていないのです。

有限小数で普通にできるんだから、無限小数もそれっぽくやればいいじゃないか。という考えをしてはいけません。数学は常に厳密さを要求する学問です。なあなあにしてはいけません。

上で述べたようなややこしい事情があったりして、無限小数を無限小数表記のまま掛け算することは避けているのです。実際、次のような、無限小数の掛け算の問題は、「無限小数を分数に直してからかける」という解法がとられています。

$\displaystyle0.333\dots\times0.333\dots$ を求めよ。

$\displaystyle0.333\dots=\frac{1}{3}$ なので、

$\displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\underline{\frac{1}{9}}$

ということで、「無限小数(厳密には循環小数)は有理数に直してから計算すべき」という暗黙のルールがあるので、証明に0.333...×3=0.999...という文章を書くのは微妙なのです。

$\displaystyle\frac{1}{3}=0.333\dots$

である。この式の両辺を3倍して、

$1=0.999\dots$

ということで、この証明は、循環小数の扱い方が「微妙に見える」から、微妙な証明なのです。

分数に直す方法を使った証明

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これも微妙な証明です。理由は先ほどと同じです。無限小数表記のまま計算するのが微妙なのは引き算も同じです。この式だけを見ていると、無限小数も有限小数のときと同じように計算できると勝手にみなしているように見えてしまいます。

なんの断りもなく10x=9.999...とするのも、10x-xの計算で小数点以下が一致しているから引き算をすると消えて小数点以下が0になる、というのも有限小数で成り立っていたからそうしているだけに見えます。

実際にその証明の式が成り立つのは確かですが、「有限小数でできたから」という理由でこの式を書くのは、本当は微妙なのです。

次回は、0.999...=1の正しい説明をします。

さらにややこしいお話

なぜ「微妙な証明」や「循環小数の扱い方が『微妙に見える』」と言っているかというと、これまたややこしいのですが、例えば、

0.333...×3=0.999...という式を、(小数第1位から順に3倍していく、などの方法ではなく)ある正しい手続きに則って（・・・・・・・・・・・・）正しく導くことができるからです。

その正しい手続きなどは次回以降に説明するつもりですが、要するに、

0.333...×3=0.999...という式を見たとき、小数第1位から順に3倍するなどの微妙な方法によって生まれた式なのか、それともある正しい手法によって導かれた式なのか判断がつかないのです。正しい方法で証明しているのであれば、できればその説明をもうすこし詳しく書いて欲しいのです。それなら誰も文句を言わないでしょう。

最後に念のため述べておきますが、0.333...×3=0.999...の式や、1/3を使う証明が決して間違っているわけではありません。上で述べたような理由から、「誤解されかねないよ」という程度の話です。

【数学小話】ほんとうに0.999...=1なのか② 本当の説明 - 日比谷高校のススメ

written by k