中学生でも解ける大学入試数学７９★ 2020年青山学院大学

 問題
★

下の図のような道のある地域で、次のような最短の道順は何通りか。

(1) AからBまで行く道順
(2) AからCを通ってBまで行く道順
(3) AからCを通らずにBまで行く道順
(4) AからCを通ってDを通らずにBまで行く道順

ヒント、着眼点

私立の高校入試でもこういった問題を見かけます。組み合わせの問題として典型的です。

また、こういった最短経路を求める問題は、各分かれ道に順に数字を割り振っていくことで足し算だけで答えを出す方法もあります。

以下、解答

解答

(1) 56通り
(2) 24通り
(3) 32通り
(4) 8通り

解説

(1)

AからBへ行くには、右へ5回、上へ3回移動することになります。これらを並び替えて何通り出来るかが答えです。

計8回移動するうちどの3回を上にするか、を考えるので、

8C3=56通り

(2)

AからCへ行くには、右3回、上1回なので、4C1=4通り。

CからBへ行くには、右2回、上2回なので、4C2=6通り。

よって4×6=24通り

(3)

AからBへ行く全ての方法から、A-C-Bとなる方法を除けばよいから、(1)と(2)の答えの差をとって、

56-24=32通り

(4)

AからCに行く方法と、CからDを通らずにBに行く方法のかけあわせで求まる。

AからC…(2)より4通り

CからDを通らずB…右右上上か、上上右右と移動する2通り

よって4×2=8通り

高校入試だとしてもおかしくない問題でした。

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