中学生でも解ける大学入試数学７８★★ 2019年数オリ予選

数オリの過去問から、お手軽な整数問題を一つ。

 問題
★★

どの桁も素数であるような自然数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると5桁の良い数になるものを全て求めよ。

ヒント、着眼点

ここでの良い数というのはこの問題だけの呼び方であり、別によく知られている数学の概念ではありません。

考える対象は3桁の良い数。それぞれの桁に自由に素数を入れられるとすると、2,3,5,7のどれかを入れることになります。4×4×4=64通り全て計算してみる、なんて解き方は当然人間にはできません。2乗すると5桁の数になる、という点から候補を絞り込むことを考えてみましょう。

以下、解答

解答

235

解説

3桁の良い数は一番小さいもので222、一番大きいもので777ですが、2乗して5桁になる、という点から大きすぎるものは答えの候補から外れるのではないかと考えます。実際、400×400=160000と、400の時点で2乗して6桁になってしまいます。

2乗して5桁になる整数の上限はいくつだろう、ということを調べます。例えば、次のような考え方が可能です。

となるを大まかに求める。
で、は3.1と3.2の間。（3.1×3.1=9.61、3.2×3.2=10.24）
よって少なくとも考えるべき整数は320未満だし、良い数に限定すれば277以下。（300台の良い数は最小でも322）

ということで、考えるべき数は200台の良い数だけでよいと分かりました。これで候補の数は十の位と一の位に2,3,5,7のいずれかを入れるから16通り。もう少し絞りこみましょう。

次は一の位に注目します。3桁の良い数を2乗した時に出来る、5桁の良い数の一の位は、もとの一の位の数のみで決まります。一の位の数が2,3,5,7で実際にどうなるかやってみます。

もとの数が〇〇2なら2乗すると〇〇〇〇4で、良い数でなくなります。以下同様にやってみると、
〇〇3なら〇〇〇〇9で、良い数でない
〇〇5なら〇〇〇〇5で、良い数かもしれない
〇〇7なら〇〇〇〇9で、良い数でない

よって、一の位の数は5でなければならないことが分かります。これで候補は225,235,255,275の4つしかありません。ここまで来たら3桁の整数の2乗を4回やって、良い数かどうかチェックすればよいでしょう。

よって答えは235。

今回は候補の絞り込みについて学べる良い問題でした。

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