【数学小話】昔、「円周率は３」と教えそうになったらしい

　かつてゆとり教育という政策により、「2002年度実施の小学校学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3と教えることになった」という噂が流れました。これは間違っているのですが、訂正されることなく広まり、大きな反響がありました。子供の計算力の成長の機会を奪うことになるといった学力低下を懸念する声や、
円と内接する正六角形の周の長さが同じになってしまう
といった批判もありました。ゆとり教育の時期と私の学生時代はかぶっていませんが、中学生の時、この六角形と円が同じ長さになる、という指摘を聞いたときはなるほど、と思いました。

また、この影響を受けたのでしょうが、2003年には東大理系で
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
という問題が出題されています。このような背景もあり、これはある意味伝説の問題として語り継がれているのです。ちなみに、ゆとり教育は数年で廃止されました。

しかし、よくよく考えてみると
円と内接する正六角形の周の長さが同じになってしまうからよくない
という指摘は適当ではないのでは、という意見が今回の主題です。

私がそう思う理由を一言でいえば、円周率を3.14としても、内接する正100角形のほうが周が長くなってしまうからです。

円に内接する正n角形は必ず円より短い周を持ちます。（証明は考えてみてください）しかしコンピューターを用いて計算させると、円周率を3.14とすれば内接する正100角形のほうが円周より長くなってしまいます。つまり、直径が1の円を考えると、その円周が3.14になるのに対し、内接する正100角形の周の長さは3.14より大きい値になってしまうのです。

もう少し話すと、そもそも円周率πというのは3.141592…と無限に続く無理数であり、3も3.14もあくまで近似値です。なのでどちらを採用しても正確な円周、円の面積が求められるわけではありません。3.14の方がより真の値に近づくというだけで、だったら3.141592を使った方がより真の値に近づきます。どこで小数を切るかという問題はありますが、3.14を使えばどんな時も大丈夫、というようなことはありません。

当然手計算、またはコンピューターによる数値計算などではどこで無限小数を切って近似するかを決めるのが重要になります。
では小学校では3.14で切ろう、というのはどう決まったのか。これは明らかに誰かが決めた（または慣習的に自然とそうなっていった）ことでしょう。なら、誰かが、
この場では近似値として3を採用する
と決めること自体は（そこに納得いく根拠がある限り）良いのではないか、と思うわけです。

近似値を決めるには、有効数字、どこまで正確な値が欲しいかなどを考えて、つまりなんらかの根拠に基づいて決めるのが科学の基本です。（高校の物理、化学で有効数字というものを習いますね）近似値を使うなら、その桁で切る、またはそれ以上の桁は意味がないことを確認する大切さも知るべきです。が、これは高校ぐらいで学ぶ難しさでしょう。

個人的には円周率を3とする、というのは反対です。円周率は3、と教えられていたけど中学で急に「実は無理数というものがあって、円周率も本当は3.1415と続いて…」と話すよりかは、最初から3.14と教えといて、実はもっと続くんだけどね、と小学校の時点で小話程度に話しておく方がよりスムーズだと思うからです。

あくまで今回話したかったことは、

円周率を3とするのはだめだ。だって円と正六角形の周が同じになってしまうからね！

という意見に対し、

いや、円周率を3.14にしても、円より正100角形の方が長くなってしまいますが…

と突っ込みを入れたかった、というだけです。言っていることは間違っていませんが、円周率を3とするのがダメな理由として適切でないのでは、ということが言いたかっただけです。

という、本当にただの小話でした。

written by k