中学生でも解ける大学入試数学６１★ 2019年法政大

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私立高校入試でも十分あり得る問題。

問題
★

$\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$ とする。

(1) $x+y=4$ のとき、 $x^2+y^2$ の値を求めよ。

(2) $x^2+y^2=4$ のとき、 $x+y$ の値を求めよ。

ヒント、着眼点

高校入試でもやります。基本対称式の値を考える問題です。

つまり $x+y,\ xy$ の値を考えるとうまくいきやすいです。

以下、解答

解答

(1) 12

(2) $\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$

解説

(1)

$\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$ の両辺に $xy$ をかけると、
$x+y=2xy$
を得る。

$x+y=4$ であるから、
$4=2xy\\xy=2$

すると、

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2\times2=12$

(2)

$x+y=k$ とおくと、

$x+y=2xy$ より $2xy=k$
$x^2+y^2=4$ より、
$(x+y)^2-2xy=4\\k^2-k=4$
これを解いて、
$k=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
よって、
$x+y=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$

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written by k

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