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中学生でも解ける大学入試数学62★★ 摂南大

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誘導がうまく使えると気持ちいい。

 

問題
★★

(1) (x-1)(x^2+x+1) を展開せよ。

(2) x^3-1因数分解を利用し、2^{18} を7で割ったときの余りを求めよ。

 

 

  

ヒント、着眼点

数学の入試問題のよくある流れ。一見、(1)と(2)に関係がなさそうに見えるものほど(1)をうまく使って(2)が解けるパターン。どう活かせるかをよーく考える。

 

 

以下、解答

 

 

 

 

 


解答

(1) x^3-1

(2) 1

 

 

 

 


解説

(1)

(x-1)(x^2+x+1)\\=x^3+x^2+x-x^2-x-1\\=x^3-1 

 

(2)

2^{18}-1因数分解する。x=2^6 とすれば、x^3=(2^6)^3=2^{18} だから、
2^{18}-1\\=x^3-1\\=(x-1)(x^2+x+1)\\=(2^6-1)\{(2^6)^2+2^6+1\}\\=(64-1)(64^2+64+1)\\=63\times(64^2+64+1)
ここで、63は7の倍数だから、 63\times(64^2+64+1) は7の倍数。つまり2^{18}-1 は7の倍数だから、2^{18}-1=7n\ (nは整数) とすると、 
2^{18}=7n+1 つまり 2^{18} は7で割って1余る。

 

 

2^{18}=(2^6)^3=x^3 と見れるかがポイント。

 

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中学生でも解ける大学入試数学61 2019年法政大

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