中学生でも解ける大学入試数学６０★★ 2017年千葉大

ちょっと場合分けがややこしい確率の問題です。

問題
★★

1個のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。

・1回目は、出た目を得点とする。

・2回目は、1回目と同じ目なら得点は0、異なれば出た目を得点とする。

・3回目は、1回目か2回目と同じ目なら得点は0、そうでなければ出た目を得点とする。

3回の得点の和をnとする。

(1) nの最小値を求め、最小値を得る確率を求めよ。

(2) nの最大値を求め、最大値を得る確率を求めよ。

(3) n=6となる確率を求めよ。

ヒント、着眼点

 得点を決めるルールをしっかり理解し、どんな時に最小値、最大値を得るかをしっかり見極めましょう。

目の出た順番が順不同となる場合もありますね。例えば、

出た目の順番が、1, 3, 5 の時も、5, 3, 1 の時も、3, 5, 1 の時も、n=9となりますね。このような場合の数を数える時は、(1, 3, 5)という組だけ書いておいて、あとで6倍するなどしましょう。

(3)はなかなか手ごわいです。うまく全てを見つける方法として、3つの目が全て異なる場合、2つが同じ場合、全て同じ場合と分けて数えるのがよいでしょう。

以下、解答

解答

(1) 最小値は1、確率は

(2) 最大値は15、確率は

(3) 19/216

解説

(1) nが最小となるのは、出た目が1, 1, 1 の時で、最小値は1
確率は、

(2) nが最大となるのは、出た目が4, 5, 6 の時で、目の順番はどの順番でもよい。
4, 5, 6 の出る順番は3×2×1=6通り。よって確率は、

(3)

①3つの目がすべて異なるとき
目の組み合わせは(1, 2, 3)のみで、順番は3×2×1=6通り。

②2つの目が同じとき
同じ数字の2回目は得点として加算されないことに注意すると、組み合わせは、
(2, 2, 4) , (2, 4, 4) , (1, 1, 5) , (1, 5, 5)
があり、それぞれ目の順番は3通りあるので、4×3=12通り。

③目が全て等しいとき
同じ数字の2回目、3回目は得点として加算されないことに注意すると、組み合わせは、
(6, 6, 6) のみ。1通り。

以上から、n=6となるのは、6+12+1=19通りだから、確率は

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