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中学生でも解ける大学入試数学21★ 数検準1級

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なんだかんだ21回もやってるこのシリーズ。今回は数検準1級からの問題です。数検準1級は高校3年生レベルです。

 

 

問題

3つの数 a, 3√3, a+6がこの順番で等比数列になるようなaを求めよ。

 

 

ヒント、着眼点

等比数列とは、次々同じ数がかけれらている数列のことです。その値のことを公比と言います。また、数列の最初の値を初項と言います。

例  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

これは次々2がかけられているので、初項1,公比2等比数列です。

例 2, 4/3, 8/9, 16/27, 32/81, ...

これは次々2/3がかけられているので、初項2,公比2/3等比数列です。

 

「a, 3√3, a+6がこの順番で等比数列になる」とありますが、公比はまだ分かりません。公比を適当に文字で置いてみる方法があります。

また、もう一つ、少しエレガントな方法もあります。

 

以下、解答

 

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解答

a=3, -9


解説

a, 3√3, a+6

公比をrとすると、

ar=3√3...①, ar2=a+6...②

となるので、この2式を連立してaを求めます。

①よりr=3√3/a これを②に代入するとa(3√3/a)2=a+6

整理するとa2+6a-27=0 よってa=3,-9

 

a=3なら数列は3, 3√3, 9となって、公比は√3です。

a=-9なら数列は-9, 3√3, -3となって、公比は-1/√3です。

 

 

・エレガントな方法

等比数列の連続した3項について、真ん中の項の2乗と両端の項の積は等しくなります

例えば1,2,4,8,16,32,64,128,...という等比数列の好きな連続する3項をとりだしてみましょう。

1,2,4 これは(真ん中の項の2乗)=(両端の項の積)を満たしています。

8,16,32 これも(真ん中の項の2乗)=(両端の項の積)を満たしています。

というように、等比数列であれば必ず成り立ちます。

連続した3項の最初の項をa,公比をrとするとこの3項はa, ar, ar2と表され、真ん中の項の2乗は(ar)2=a2r2で、両端の項の積はa×ar2=a2r2ということで等しくなります。これを利用して(真ん中の項の2乗)=(両端の項の積)という等式を作れば、

(3√3)2=a(a+6)

よって

a2+6a-27=0

と方程式が簡単に作れ、aが求められます。

 

 

※補足

高校では等比数列と一緒に等差数列も習います。隣り合った2項の差が等しい数列のことです。

例:1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,...

等比数列は(真ん中の項の2乗)=(両端の項の積)が成り立ちましたが、等差数列では(真ん中の項の2倍)=(両端の項の和)となります。

7,10,13は等差数列ですが、真ん中の2倍も両端の和も20になります。

 

 

 

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