中学生でも解ける大学入試数学５７★★ 2018年防衛大

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問題を少し変えています。

問題
★★

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ のとき、 $x^6+y^6$ の値の1の位の数字はいくつか。

ヒント、着眼点

難関高校受験でも出る基本対称式を使う問題。 $x^6+y^6$ を $x+y,\ xy$ の組み合わせで表すことを考えればよさそうです。

たとえ分からなくても、0から9のどれかを書けば1/10で当たります。

以下、解答

解答

解説

まず、 $x,\ y$ を有理化してみる。

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\\displaystyle =\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\\=5+2\sqrt{6}$

同様にして、 $y=5-2\sqrt{6}$ を得る。よって、

$x+y=10$ である。また、

$\displaystyle xy=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=1$ である。(うまく約分される)

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=10^2-2\times1=98$

$x^3+y^3=(x^2+y^2)(x+y)-xy(x+y)=98\times10-1\times10=970$

$x^6+x^6=(x^3+y^3)^2-2x^3y^3=(x^3+y^3)^2-2(xy)^3=970^2-2$

ここで、 $970^2$ の1の位の数字は0より、それから2を引くと、1の位の数字は8

よって $x^6+x^6$ の1の位の数字は8

補足

この問題は1の位だけを求めればよいので、 $970^2-2$ をまじめに計算しないように。

$x^6+y^6$ を作るのに、今回は $x^2+y^2→x^3+y^3→x^6+y^6$ というルートをとりましたが、他にも $x^2+y^2→x^4+y^4→x^6+y^6$ としても求められます。が、前者の方が楽だと思います。(ぜひ後者のルートもやってみてください)

参考: $x^6+y^6=940898$

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written by k