中学生でも解ける外伝高校入試難問３８★★ 2003年都立西高

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

2003年の問題です。途中の小問を1つ除いています。

問題

★★

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図の、曲線Cは $y=kx^2$ のグラフである。ただし、 $k＞0$ である。

直線lは変化の割合が1/2で、曲線Cと2点A, Bで交わっている。点A, Bのx座標はそれぞれ6,-4である。

以下の問いに答えよ。
(1) kの値と直線lの式を求めよ。

(2) 原点Oから直線lにひいた垂線と直線lとの交点をHとするとき、線分OHの長さを求めよ。

(3) △OABを直線lを軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。

ヒント、着眼点

(1) 2次関数に関する受験のテクニックとして、次があります。

$y=ax^2$ について、xがpからqまで増加するときの変化の割合は、a(p+q)

これは、覚えておくととても便利な公式です。これを利用すれば、ABを通る直線の傾きはkを用いて簡単に表すことができます。

(2)

△OABの面積をS、とすると、1/2×AB×OH=Sとなります。面積SとABの長さは比較的楽に求められます。

また、これも受験の知識ですが、2つの直線が垂直に交わるとき、それらの傾きの積が-1になります。このことから直線OHの式を求め、Hの座標を求めてもよいでしょう。こちらの方が若干計算が多くなりそうです。

(3) 回転してできる立体の形は底面積が等しい2つの円錐を上下くっつけた形になります。円錐の体積を出すには底面積と高さが必要になりますが...?

以下、解答

解答

(1) k=1/4 y=(1/2)x+6

(2) 12√5/5

(3) 48√5π

解説

(1)

ヒント、着眼点で紹介した公式より、

k(-4+6)=1/2から、k=1/4

するとA(6,9),B(-4,4)となるので、この2点を通り、傾きが1/2の直線は、 y=(1/2)x+6

(2)

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△OABの面積は、6×(4+6)×1/2=30

線分ABの長さは、 $\sqrt{\{6-(-4)\}^2+(9-4)^2}=5\sqrt{5}$

よって $5\sqrt{5}\times OH \times \frac{1}{2}=30\\\displaystyle OH=\underline{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$

(3)

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求める立体は、底面の円の半径がOH、高さの和がABである2つの円錐を上下つなげたものであるから、

$\displaystyle(\frac{12\sqrt{5}}{5})^2\pi\times AH\times\frac{1}{3}+(\frac{12\sqrt{5}}{5})^2\pi\times BH\times\frac{1}{3}\\\displaystyle=\frac{144}{5}\pi\times (AH+BH)\times\frac{1}{3}\\\displaystyle=\frac{144}{5}\pi\times AB\times\frac{1}{3}\\\displaystyle=\frac{144}{5}\pi\times 5\sqrt{5}\times\frac{1}{3}\\\displaystyle=\underline{48\sqrt{5}\pi}$

このように底面が同じ2つの立体を上下くっつけた形をしているものは、高さの合計さえ分かっていれば体積を求められます。上の問題でいうと、BHとAHを三平方の定理などから求めることはできますが、その和であるABさえ分かればよいのでした。

↓ 次回と前回

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written by k