【数学小話】aのb乗とbのa乗はどちらが大きいか

さて、どちらが大きいか当ててみてください。実際に計算するもよし、概算や直感で判断するもよし、です。

問題
logを使って解析する
eとは？
関連する有名な問題

問題

問題1. どちらが大きいか。

(1) 34と43
(2) 5¹⁰と10⁵(3) 10¹¹と11¹⁰

答え1.

(1) 34=81, 43=64より、34
(2) 510=9765625, 105=100000より、510
(3) 1011=100000000000, 1110=25937424601より、1011

さて、これらを見ると、こんな法則があるように思えてきます。

a<bならば、ab>ba？

ようするに、指数の値が大きい方が大きい、という法則があるような気がします。

では、次の問題はどうでしょうか。
問題2. どちらが大きいか。

(1) 23と3²(2) 1¹⁰⁰⁰⁰と10000¹

答え2.

(1) 23=8, 32=9より、32
(2) 110000=1, 100001=10000より、100001

今回の問題は全て先ほどと逆の結果になりました。指数の値が小さい方が大きくなりました。どうやら一筋縄ではいかないようです。

問題3. 大小を比較せよ。

24と4²

答え3.

24=16, 42=16より、等しい

なんと等しい例まで出てきてしまいました。もうわけわからん。

実は、このような事実があります。

a<bを満たす自然数a,bについて、以下が成り立つ。
(1) a=1または(a,b)=(2,3)のとき、ab<b

(2) (a,b)=(2,4)のとき、ab=ba

(3) それ以外のとき、ab>ba

なかなか興味深いです。小さい方の値が1でないとき、たった2例を除き、指数の値が大きい方が大きくなるのです。何故そうなのかは後で分かります。

では、考える対象を自然数から0より大きい実数全てに広げて考えるとどうなるでしょうか。さらに不思議なことになります。

0<a<bなる正の実数について、abとbaの大小関係はどうなるか。

さて、これをどうやって解決すればいいかというと、高2で習う対数と、高3で習うlogの微分の知識を使います。まだ対数、logを習っていない人は、テキトーに流し読みしてもらって構いません。赤字だけ読めば十分わかるようになっています。

logを使って解析する

$0＜a＜b$ とする。
$a^b＞b^a\\\Leftrightarrow \log a^b＞\log b^a\\\Leftrightarrow b\log a＞a\log b\\\displaystyle\Leftrightarrow \frac{\log a}{a}＞\frac{\log b}{b}$
ab<baのときも同様に考えると関数f(x)を、
$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\ (x＞0)$
とすれば、
$a^b＞b^a\\\displaystyle\Leftrightarrow f(a)＞f(b)$
ab<baのときも同様に考えると、f(a)とf(b)の大小関係とabとbaの大小関係は一致する。
f(a)という表記に馴染みのない方は、要するにy=f(x)という式にx=aを代入した時のyの値のことと思ってください。
y=f(x)のグラフを書いてみましょう。この程度であれば高3理系の定期テスト～入試レベルです。高3理系であれば微分して増減表まで書けるように。
$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\ (x＞0)$
1回微分、2回微分するとそれぞれ、
$\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$

$\displaystyle f''(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{2\log x -3}{x^3}$

$f'(x)=0$ とすると、 $x=e$
$f''(x)=0$ とすると、 $x=e\sqrt{e}$
増減表は以下の通り。

f:id:hby:20190318014215j:plain

グラフは以下のようになります。変曲点は使わないので、結局2回微分の必要はありませんでしたが、計算練習、紹介ということで。

f:id:hby:20190318015645j:plain このグラフは、x→0でy→-∞、x→∞でy→0となります。
グラフの最大値はx=eのとき1/eです。eはネイピア数という特別な定数で、e≒2.7です。
これと先ほどのf(a)とf(b)の大小関係とabとbaの大小関係は一致するとをグラフに当てはめてみると、このようなことが言えます。

xが自然数のときのf(x)の値を考えると、大きい順に、
f(3)>f(2)=f(4)>f(5)>f(6)>f(7)>...>f(1)
よって、例えば、
f(3)>f(2)だから、32>23
f(4)>f(7)だから、47>74

これが先程紹介した、自然数におけるabとbaの関係の理由です。

また、xが0より大きい実数のときを考えると、次がいえます。

0<a<b≦eなら、常にab<ba

e≦a<bなら、常にab>ba

0<a<e<bなら、どちらの場合もあり得る

ということで、一つ面白いことが分かりました。
xが0より大きく、eでないどんな実数でも、xe<ex
一番強いのはeの累乗でした(?)。つまり、
100eよりe100の方が大きい。
100000eよりe100000の方が大きい。
9999999999eよりe9999999999の方が大きい。
このようなことが成り立つのは、実数の中でもeのみです。

aとbがeの値をまたいでいるときは、実際にf(a)とf(b)を計算するか、直接abとbaを計算して比べることになります。
ただし、グラフの0<x<1の範囲ではf(x)<0で、x>1ではf(x)>0なので、0<a<1<bならab<baです。

eとは？

ネイピア数eは、高3理系の数IIIでこのように登場します。
$\displaystyle e=\lim_{n \to \infty} \biggr(1+\frac{1}{n}\biggr)^n$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}$ という記号は、nを無限大に持って行ったときに近づく値、という意味です。この式を見ると、式の言っている内容は、感覚的には「1の無限乗」になってその値は1になりそうに思えますが、実は、2.718281828459045...というある値に近づくのです。この値をネイピア数と呼び、eと表すのです。eにはさまざまな性質、特徴があります。有名なものでいえば、
$\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots$
など。ほかにも、eは統計学や金利計算などでも活躍します。