中学生でも解ける大学入試数学２４★★ 2016年上智大

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問題
★★

次の2式を満たす整数p,q,rがある。

$\displaystyle p+q+r=6,$ $\displaystyle p^2=q^2+r^2$

(1) (p,q,r)のとり得る組は全部で何組か。

(2) rのとり得る値のうち最小のrと、そのときのp,qの値を求めよ。

ヒント、着眼点

(p,q,r)の組を全て求める必要はないです。3つとも値が同時に求まることはないので、まずは複数個の式があるときの基本、文字を消去することから始めましょう。

pを消すために、 $\displaystyle p=6-(q+r)$ として、2つめの式に代入すると、

$\displaystyle \{6-(p+q)\}^2=q^2+r^2$

これを整理すると、qとrだけの式になり、うまく変形してq,rを求められます。

以下、解答

解答

(1) 12組

(2) r=-12,p=13,q=5

解説

$\displaystyle \{6-(p+q)\}^2=q^2+r^2$

これを整理して変形すると、

$\displaystyle 36-12(q+r)+(q+r)^2=q^2+r^2\\\displaystyle qr-6q-6r+18=0\\\displaystyle (qr-6q-6r+36)-18=0\\\displaystyle (q-6)(r-6)=18$

$\displaystyle q-6,r-6$ は整数なので、この組み合わせは、

$\displaystyle (q-6,r-6)=(±1,±18),(±2,±9),(±3,±6),(±6,±3),(±9,±2),(±18,±1)$ (複号同順)

となる。それぞれの(q-6,r-6)1組につき(p,q,r)が1組存在するので、(p,q,r)は12組。

rが最小になるのは、r-6=-18のとき、つまりr=-12。

このとき、q-6=-1よりq=5。

p=6-q-rよりp=13。

補足１

$\displaystyle qr-6q-6r+18=0$

この式から

$\displaystyle (q-6)(r-6)=18$

と変形して、 $\displaystyle q-6$ と $\displaystyle r-6$ の積が18ということから、可能な値の組を全て挙げる、という解法は難関高校入試でもしばしば見かけます。式の変形が慣れるまで難しいです。

$\displaystyle qr-6q-6r+36\\\displaystyle=q(r-6)-6(r-6)\\\displaystyle=(q-6)(r-6)$

と因数分解できるのがポイントです。qとrの係数がそれぞれ-6,-6なので、その積の36を作るようにしています。

$\displaystyle 36-12(q+r)+(q+r)^2=q^2+r^2\\\displaystyle qr-6q-6r+18=0\\\displaystyle (qr-6q-6r+36)-18=0\\\displaystyle (q-6)(r-6)=18$

例

$\displaystyle xy-2x+3y+10=0\\\displaystyle(xy-2x+3y-6)+16=0\\\displaystyle x(y-2)+3(y-2)+16=0\\\displaystyle(x+3)(y-2)=-16$

今回はxとyの係数がそれぞれ-2,3なので、その積の-6を作るようにしたらうまくいきました。

係数が違ったとしても、基本このような変形の手順をたどることになります。

補足２

$\displaystyle a^2+b^2=c^2$

これは三平方の定理の式で、これを満たす自然数の組はピタゴラス数と呼ばれ、無限に存在します。

有名なものはいくつかあるので、覚えてみましょう。

(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17),(7,24,25)

このあたりが高校入試でも見かけることがあるものでしょう。あとは、この組の数字を全て2倍、3倍、...したものもあります。例えば(3,4,5)を全て2倍した(6,8,10)、3倍した(9,12,15)などもピタゴラス数です。

今回の問題は、「2式を求める整数」とあるので、(-3,-4,-5)や(-3,4,-5)なども答えの候補になります。実際、(p,q,r)=(-3,4,5)はp+q+r=6も満たすので、これは答えの1組です。

全てのピタゴラス数を求める方法があります。

$\displaystyle (a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ ただし、 $\displaystyle 0＜n＜m$

これに好きな整数n,mを代入すれば、ピタゴラス数が1組求まります。さまざまな値を代入すればいろんなピタゴラス数の組がでてきます。

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written by k