中学生でも解ける大学入試数学6★★ 2009年数オリ予選
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中学生までで習う知識のみで解けますが、数オリなだけあって、かなりひらめきの力が要求されるかもしれません。
本来の問題に載っていた図は不正確なものですが、その図はこの記事には使わず、新たにかなり正確な図を用意しました。
問題
★★
半径2の円O1と半径4の円O2が点Pで外接している。点Pを通る、O1,O2の共通接線ではない直線を引き、点PでないO1,O2との交点をそれぞれA,Bとする。AB=4の時、PBを求めよ。
ヒント、着眼点
円が2つも登場しているのに直線は1本しかない状態のままあれこれ考えても先に進みません。補助線を引いて、どうにか知っている定理などが使える形を作り出せないかを考えます。
2つの円の半径の長さが与えられているので、それを使うような補助線を引きましょう。例えば次のように。
フリーハンドで正確な図が書きにくいのも、解き方が見えにくい一つの要因となっているでしょう。
中3までで習う図形の定理のみで解くことができます。
逆に言えば、中3でならう定理が使えるように、さらに補助線をひくと...?
以下、解答
解答
8/3
まず、上のように補助線を引きます。
AC,BDはそれぞれ直径となるように引きます。
また、Pを通る2つの円の共通接線を引きます。
O1とO2について接弦定理を使うと、∠ACP=∠BDPが言えます。上の図を参考にしてください。
また、∠APC=∠BPDよりC,P,Dは一直線に並びます。
よってAC//BD
すると△APC∽△BPDとなり、AP:BD=4:8=1:2
よってBP=8/3
高校受験で知っておかなければならない接弦定理と相似を使う問題でした。受験生の方は、接弦定理について復習しておきましょう。
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written by k