中学生でも解ける大学入試数学７★★ 2005年京大

一見答えの候補が多そうで途方もないようなものであっても、少し工夫をすると一気に答えに近づくことができる。そのような問題です。

問題

★★

(文系) a³-b³=65を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。

(理系) a³-b³=217を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。

ヒント、着眼点

文系と理系で数字が変わっていますが、解き方は変わりません。

さて、高校入試で、3乗ではなく2乗の問題ならしばしば出題されます。そのような問題の紹介をしておきましょう。

問題

a²-b²=11となる整数(a,b)の組をすべて求めよ。

解答

 a²-b²=(a+b)(a-b)と因数分解できる。また、11は素数なので、

(i) a+b=1,  a-b=11

(ii) a+b=11, a-b=1

(iii) a+b=-1,  a-b=-11

(iv) a+b=-11, a-b=-1

この4通りの可能性がある。あとはそれぞれについてa,bを求めればよい。

(i) a=6,b=-5

(ii) a=6,b=5

(iii) a=-6,b=5

(iv) a=-6,b=-5

以上より答えは

(a,b)=(6,5),(6,-5),(-6,5),(-6,-5)

このように、左辺を因数分解し、連立方程式を作ることでa,bの組を求めます。

さて、今回の問題でも左辺が因数分解できます。この因数分解は中学校で習わないので、紹介しておきます。使いますので。

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

展開すればこの因数分解が正しいことはただちに確認できます。この因数分解は高校で最初に習いますので、覚えて損はないでしょう。

文系の問題をすこしやってみましょう。

a³-b³=65

(a-b)(a²+ab+b²)=65

65は素数ではなく、5×13と素因数分解できます。そうすると(a-b)と(a²+ab+b²)の値の候補が次の8つに絞られます。

(a-b)と(a²+ab+b²)の候補

5,13

13,5

-5,-13

-13,-5

1,65

65,1

-1,-65

-65,-1

この8通りすべてで計算してa,bを求めれば答えがでます。ただ、いくつかのパターンはa,bが整数とならないことが途中でわかるものもあります。なので答えは8通りもありません。

「8通りも計算するのは面倒だ」と思いますよね。実はすべて計算する必要はありません。あることに気づくと、半分のパターンは計算する前から答えとなりえないことがわかります。

 以外、解答

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解答

(文系) (a,b)=(4,-1),(1,-4)

(理系) (a,b)=(1,-6),(6,-1),(-8,-9),(9,8)

解説

(a²+ab+b²)はa,bがどのような値の時も0以上であることが示せます。

a²+ab+b²=(a+b/2)²+3b²/4と変形すると、2乗したものを2つ足しているので必ず0以上であることがわかります。ということは、(a²+ab+b²)が負であるものは調べる必要がありません。(a-b)と(a²+ab+b²)の候補は以下の4つにさらに絞られます。

(1) 5,13

(2) 13,5

(3) 1,65

(4) 65,1

これくらいまで絞れたら、 気合を入れて全部計算すればよいでしょう。

パターン(1)を計算する。

a-b=5...①

a²+ab+b²=13...②

①よりa=b+5。これを②に代入し、

(b+5)²+(b+5)b+b²=13

3b²+15b+12=0

b²+5b+4=0

b=-1,-4

b=-1のときa=4

b=-4のときa=1

よって(a,b)=(4,-1),(1,-4)はそれぞれ答えの1組。

実際に計算すると確かめられるのですが、パターン(2)以降は全て、パターン(1)と同様にbの2次方程式を作ると解が整数にならないことが確認できます。つまり、パターン(2)以降から答えの組はでてきません。よって答えはパターン(1)ででてきた2組となります。

理系の問題もほぼ文系の問題と同様に解けます。

217=7×31を頼りに計算してみてください。

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written by k