【数学小話】中学校では教えてくれない数の性質④　素因数分解

第１回の記事はこちら
第２回の記事はこちら
第３回の記事はこちら

第５回の記事はこちら

素因数分解の一意性
- 例題
- 問題
- 例題
- 問題

素因数分解の一意性

素因数分解は積の順番を除いてただ一通りである。

つまり、素因数分解は必ず同じ結果になるということです。

Aを素因数分解したらあるときは53×71になり、あるときは13×19×43だった、なんてことにはなりません。これは経験則として誰もが知っていることでしょう。

これだけです。これだけの短い内容ですが、とてもとても重要なことです。

素因数分解を使って解く問題を少しみていきましょう。

例題

10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1は末尾に0がいくつ並ぶか。

解答

10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1を素因数分解すると、

2⁸×3⁴×5²×7となる。2で8回、5で2回割り切れるので、10=2×5は最大2回割り切れる。

よって末尾に0が2個並ぶ。

解説

「Aの末尾に0がn個並ぶこと」は「Aが10でn回割り切れること」と言い換えることができます。

「10×9×8×7×6×5×4×3×2×1を素因数分解する」は何をするのかというと、

10=2×5, 9=3×3, 8=2×2×2, 6=2×3, 4=2×2と、かけられている数を全て素因数分解し、結局2は何個、3は何個あるのかをカウントすることになります。すると、2は全部で8個、3は4個、5は2個、7が1個あるので、2⁸×3⁴×5²×7となります。

ここで、10=2×5より、Aが2と5のセットで何回割り切れるかが重要になります。

参考: 10!=3628800

問題

$1\times2\times3\times\dots\times29\times30$ は2で何回割り切れるか。

発想

「2で何回割り切れるか」と、「素因数分解したときの2の指数がいくつか」は同じ。

1から30まで、それぞれ素因数2をいくつ持つか調べて、その和を求めてもよいです。今回の解法は少し違う方法で求めています。

解法

2の倍数は、 $30\div2=15$ より、15個

4の倍数は、 $30\div4=7\cdots2$ より、7個

8の倍数は、 $30\div8=3\cdots6$ より、3個

16の倍数は、 $30\div16=1\cdots14$ より、1個

32の倍数はない。

よって、 $1\times2\times3\times\dots\times29\times30$ は素因数2を15+7+3+1=26個もつから、26回

この問題の、素因数2の個数、つまり2で割れる回数は、このようなことをイメージして解くのがよいでしょう。

f:id:hby:20190410211642j:plain

①1から30を一列に並べ、2で割れるものは2で割って、商を下に書く。

②このようにしてできた新しい列を見て、2で割れるものは2で割って、商を下に書く。

③　②を繰り返す。

これをすると、最初は15回割れ、次は7回、次は3回、最後は1回割れます。合計は15+7+3+1=26回。

解法でなぜ2の倍数とか8の倍数とか言っているかというと、

2で1回以上割れるものは2の倍数、

2で2回以上割れるものは4の倍数、

2で3回以上割れるものは8の倍数、

...

2でn回以上割れるものは2ⁿの倍数、

とそれぞれ言えるからです。

今回の解法にはこのような背景がありました。

例題

$\displaystyle \sqrt{12+n^2}$ が整数になる自然数nを全て求めよ。

解答

$\displaystyle \sqrt{12+n^2}=m$ (ｍは整数)とおく。両辺を2乗して、

$\displaystyle 12+n^2=m^2$

$\displaystyle m^2-n^2=12$

$\displaystyle (m-n)(m+n)=12$

(m-n)と(m+n)は12の約数である。

m-n<m+nで、どちらも正であることに注意すると、

(m-n,m+n)=(1,12), (2,6), (3,4)が考えられる。

(m-n,m+n)=(1,12)のとき、(m,n)=(13/2,11/2)で整数とならないので不適。

(m-n,m+n)=(2,6)のとき、(m,n)=(4,2)でこれは解となる。

(m-n,m+n)=(3,4)のとき、(m,n)=(7/2,1/2)で整数とならないので不適。

以上より、n=2

(m-n,m+n)=(1,12)のときと(m-n,m+n)=(3,4)のときは、具体的にm,nを両方計算しなくても、どうせ不適になることは簡単に調べられます。

例えば(m-n,m+n)=(1,12)のとき、1+12を計算します。これが奇数の時点で、実は不適だと分かります。

m-n=1...①

m+n=12...②

①+②を計算すると、2m=13となります。左辺が2mなので、右辺が偶数でないとmは整数になりません。

最後に今やった問題の応用問題を紹介して終わりにしようと思います。高校レベルです。

問題

$\displaystyle \sqrt{2^8+2^{11}+2^n}$ が整数となる自然数nをもとめよ。

解答

$\displaystyle \sqrt{2^8+2^{11}+2^n}=m$ として両辺を2乗すると、

$\displaystyle 2^n\\\displaystyle =m^2-2^8-2^{11}\\\displaystyle =m^2-2^8(1+2^3)\\\displaystyle =m^2-2^8\times9\\\displaystyle =m^2-(3\times2^4)^2\\\displaystyle =(m-48)(m+48)$

素因数分解の一意性より、

$\displaystyle m-48=2^s,\ m+48=2^t,\ s+t=n$

となる自然数s,tが存在する。 $\displaystyle m=2^s+48,\ m=2^t-48$ だから、

$\displaystyle 2^s+48=2^t-48\\\displaystyle 2^t-2^s=96\\\displaystyle 2^s(2^{t-s}-1)=2^5\times3$

$\displaystyle 2^{t-s}-1$ が奇数であるから、素因数分解の一意性より、

$\displaystyle 2^s=2^5,\ 2^{t-s}-1=3$

よって $\displaystyle s=5,\ t=7,\ n=12$

第１回の記事はこちら
第２回の記事はこちら
第３回の記事はこちら

第５回の記事はこちら

written by k

日比谷高校のススメ

日比谷高校出身者たちが日比谷高校の紹介や、勉強に関する様々なことを語ります。

【数学小話】中学校では教えてくれない数の性質④　素因数分解

素因数分解の一意性

例題

問題

例題

問題