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中学生でも解ける大学入試数学４６★★ 2011年日本工大

中学生でも数学

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問題
★★

$a^2+b^2=13, a^4+b^4=97$ のとき、 $a^3+b^3$ の値を求めよ。ただし、 $a+b＞0, ab＞0$ とする。

ヒント、着眼点

対称式

対称式とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことをいいます。

中学数学でも言葉は習わずに少しだけ登場します。

例えば、これらが対称式です。

$x+y,\ x^2+3xy+y^2,\ a+b+c,\ a^2+b^2+c^2+abc$

文字が2つのときはその2つを入れ替えても変わらない、3つのときはその3つをどう入れ替えても変わらないものが対称式です。

対称式の重要な性質として、どんな対称式も基本対称式で表すことができるというものがあります。

基本対称式

文字2つ $(x,y)$ 　 $x+y$ と $xy$

文字3つ $(x,y,z)$ 　 $x+y+z$ と $xy+yz+zx$ と $xyz$

例

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

$\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$

$\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$

この問題では、登場する $a^2+b^2,\ a^4+b^4,\ a^3+b^3$ はすべて対称式です。まずは $a^2+b^2$ を基本対称式で表しましょう。

$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$ ですね。

以下、解答

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解答

35

解説

$a^2+b^2=13...①, a^4+b^4=97...②$

①の両辺を2乗すると、

$a^4+2a^2b^2+b^4=169...③$

ここで、③に②を代入すると、

$97+2a^2b^2=169\\2a^2b^2=72$

$ab＞0$ だから、 $ab=6$

$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$ より、①は、 $(a+b)^2-2ab=13$ となる。

$ab=6$ を代入して、

$(a+b)^2-12=13\\(a+b)^2=25$

$a+b＞0$ だから、 $a+b=5$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

より、

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=5^3-3\times6\times5=\underline{35}$

補足

対称式の問題はこのように、基本対称式の値に注目するのがセオリーです。

ちなみに、a+b=5,ab=6だったので、aとbは2と3ということがわかります。この問題はaとbの大小について書かれていないので、どっちが2でどっちが3かは分かりませんが。もちろん、どっちがどっちだろうと問題の答えには影響ありません。

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中学生でも解ける大学入試数学４５ 2002年関西大 - 日比谷高校のススメ

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