【数学小話】10958問題

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2020年4月11日、自粛要請のため日比谷生の皆さんは家庭で勉強されているかと思います。その息抜きになることを願って、この「10958問題」を紹介します。

1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字をこの順番で1回ずつ使って、さまざまな数を作れ。

ただし、使ってよい記号は+,-,×,÷,( ),^ のみである。

また、23や567のように、つなげて2桁以上の自然数として扱ってもよい。1の直前-を付けて、-1にしてもよい。

※ 記号「^」は、累乗を表す記号です。a^bでaのb乗を意味します。

$100=1+2+3+4+5+6+7+8\times9$

$412=123+4\times56+7\times8+9$

$1000=1+2+34\times(5+6)\times7+8\times9$

$9931=12^3\times4-5+6\times7\times8\times9$

さて、このルールで0から順番に整数を作ってみましょう。

$0=12+23-56-7+8+9$

$1=1^{23456789}$

$2=123+4-56-78+9$

$3=123-45-6-78+9$

$4=12-34-56-7+89$

$5=12-34+5-67+89$

$6=12+34+56-7-89$

$7=1+23-4+56-78+9$

$8=1-23-45+6+78-9$

$9=1^{2345678}\times9$

$10=1^{2345678}+9$

とりあえず0から10まで書いてみました。小さい数は足し引きだけで済むことがほとんどなので思いつきやすいでしょう。ちなみに私はカンニングしました。

というのも、0から11111までをずらーーっと紹介する論文があるのです。それが2013年提出、2014年改訂されたこちら。

pdfで161ページもあります。この論文は数字が1から9にのぼるものだけでなく、9から1にくだるものも全て載っています。暇な皆さんはぜひ全ての結果を覚えてみてください。

そして本題。

実は、この論文によると、
10958を作る式だけ見つかっていない
のです。

f:id:hby:20200411170508j:plain

(上のリンクの論文158ページより)

0から11111までのありとあらゆる整数は実際に作れるのです。なのに、唯一10958だけ見つかっていないのです。なぜでしょうか。10958という数字は何か特別な数字なのかもしれません。

調べた限り、2020年4月11日現在、まだ10958を作る式はまだ確認されておりません。(√や!など、いくつかの記号を使えるとしたルールでは式が見つかっている)

この記事を読んで下さったみなさんも、ぜひ挑戦してみてください。プログラミングに自信がある方はプログラムを組んで見つけてみるもよし。10958になるべく近い数を作るもよし。ちなみにこんな式が見つかっています。

$-1-2/3-4^{5-(6-7)/8}\times9=10958.06$

誰も見つけていないだけかもしれませんし、そもそも答えがないのかもしれません。紙とペンを用意して、家でこもりっきりで固まった頭をほぐしてみてはいかがでしょうか。

written by k

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