中学生でも解ける大学入試数学１７★★ 1996年京大後期(理系)

問題

★★

m,nは自然数でm<nとする。mⁿ+1,n^m+1がともに10の倍数となるm,nを1組見つけよ。

考え方、着眼点

問題文を言い換えると、

「mⁿ+1,n^m+1がともに10の倍数」→「mⁿ+1,n^m+1は1の位の数字が0」→「mⁿ,n^mは1の位の数字が9」

とできます。

自然数を2乗,3乗していく上で1の位に注目するので、m,nの1の位はある程度絞ることができます。

自然数の1の位の数字と、その自然数を1乗,2乗,3乗,...とした時の1の位を調べると、

0 : 0→0→...

1 : 1→1→...

2 : 2→4→8→6→2→...

3 : 3→9→7→1→3→...

4 : 4→6→4→...

5 : 5→5→...

6 : 6→6→...

7 : 7→9→3→1→7→...

8 : 8→4→2→6→8→...

9 : 9→1→9→...

これを見れば、m,nの1の位の数字は3,7,9のどれかであることが分かります。

以下、解答

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解答

(m,n)=(9,19),(19,29),(29,39)など。

1の位が9で、m<nであればなんでもよい。

解説

3 : 3→9→7→1→3→...

7 : 7→9→3→1→7→...

9 : 9→1→9→...

mの1の位の数字を3または7とした時、mⁿの1の位が9となるnを考えます。

3の累乗の1の位は(3971)のループ、7の1の位は(7931)のループなので、

n=2,6,10,14,18,...といった、4で割って2余る数でなければなりません。

しかしこの時、nは偶数なので、n^mの1の位は9になることはありません。

よって、mの1の位は9で、nの1の位も9と分かります。

ここで、m<nなのでとりあえず(m,n)=(9,19)としてみます。

9の累乗の1の位は(91)でループしているので、9は奇数乗した時の1の位が9となります。

よって9¹⁹の1の位も19⁹の1の位も9となります。

すると9¹⁹+1も19⁹+1も1の位が0なので10で割り切れることになります。

参考

9¹⁹=1350851717672992089

19⁹=322687697779

29⁹=14507145975869

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