中学生でも解ける大学入試数学５５★ 2002年お茶女大

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問題
★

1から2002までの自然数のうち、45で割ったときの余りが45で割ったときの商より小さいものはいくつあるか。

ヒント、着眼点

「何通りあるか」問題は、計算でパパっと求められるものもあれば、根気よく順に数えて求めるものもあります。今回はうまく順に数えればよいでしょう。

このような問題で、うまく数えることができる、というのはいわゆるセンスがしばしば要求されます。この問題を通して、センスを磨きましょう。

以下、解答

解答

969個

解説

まず、該当する自然数はどのように現れるのかを把握しましょう。1から2002までの自然数を45で割ったときの商とあまりがどのように変化するかが分かれば、該当する自然数の現れ方も分かります。

ここでは、うまく数えるコツとして、周期性に注目した場合分けをします。1から順に自然数を45で割ると、余りが（0~44）が繰り返し現れます。この長さ45の周期を利用するために、商で場合分けをしてみましょう。

①1から44

商0　あまり1~44

該当なし

②45から89

商1　あまり0~44

該当1つ（45÷45=1...0）

③90から134

商2　あまり0~44

該当2つ（90÷45=2...0, 91÷45=2...1）

④135から179

商3　あまり0~44

該当3つ（135÷45=3...0, 136÷45=3...1, 137÷45=3...2）

ここまでやると、該当するものが、0つ、1つ、2つ、3つ、4つ、...となっていくことが分かります。あとは、場合分けがどこで終わるか、最後を確認すればよいでしょう。

2002÷45=44...22、45×44=1980であるから、

〇1935~1979

商43　あまり0~44

該当43つ（あまり0~42）

〇1980~2002

商44　あまり0~22

該当23つ

よって、答えは、

(1+2+3+...+43)+23=969

補足

このように、闇雲に探すのではなく、うまーく数える。これはある程度の訓練なしでは身に付きません。答えがでればオッケー、という楽観的な思考をせず、よりよい解法、より効率的な見通しの良い解法はないか、と貪欲になりましょう。

（当然私の解法が一番エレガントであるとは限りません。このブログは考えるヒントとしてご活用ください。）

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written by k