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中学生でも解ける外伝高校入試難問３２★★ 城北埼玉高

中学生でも数学

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

問題
★★

直線lの方程式は $\displaystyle y=3x-6$ 、直線mの方程式は $\displaystyle y=\frac{1}{3}x+2$ であり、2直線l、mの交点をA、直線mとy軸との交点をBとする。直線l上の点をPとし、直線OPと直線mの交点をQとする。△OBQと△APQの面積が等しくなるとき、

(1) 点Aの座標を求めよ。

(2) 直線OPの方程式を求めよ。

(3) 点Qの座標を求めよ。

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ヒント、着眼点

よくある1次関数と、それらに囲まれた図形の面積に関する問題です。

(2)がやや難しいです。「面積が等しい」ということからあることを連想できるかが勝負。

以下、解答

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解答

(1) A(3,3)

(2) $\displaystyle y=\frac{3}{2}x$

(3) $\displaystyle Q(\frac{12}{7},\frac{18}{7})$

解説

(1) lとmの式が与えられているので、その交点のAの座標はそのまま連立して解くだけです。

$\displaystyle l:y=3x-6\dots①,\ m:y=\frac{1}{3}x+2\dots②$

①と②を連立して解けば、x=3,y=3になります。

(2) この問題で使うテクニックは等積変形です。面積が等しく、底辺が共有している2つの三角形を作り出すのがポイントです。「面積が等しい」と言われたら必ず等積変形を一度は思い浮かべるとよいでしょう。

△OBQと△APQの面積が等しい→△OABと△OAPの面積が等しい→OA//BP

OAの傾きは1なので、直線BPの方程式は $\displaystyle y=x+2\dots③$

①と③を連立して解けば、交点であるPの座標が分かります。

P(4,6)

したがって、直線OPの式は $\displaystyle y=\frac{3}{2}x\dots④$

(3) Qはｍと直線OPの交点であるから、②と④を連立して解けば、 $\displaystyle x=\frac{12}{7},\ y=\frac{18}{7}$

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written by k

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