中学生でも解ける大学入試数学２５★ 2017年明治大(商)

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問題
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(1) 50以下の自然数で、2の倍数か5の倍数であるものの個数を求めよ。

(2) 50以下の自然数で、2の倍数か5の倍数であるものの総和を求めよ。

(3) $\displaystyle \frac{1}{50}$ から $\displaystyle \frac{50}{50}$ までの50個の分数のうち、既約分数の総和を求めよ。

※既約分数とは、これ以上約分できない分数のこと。

ヒント、着眼点

(2)までは地道な方法でも解けるでしょう。

(3)は(1)と(2)の答えをどう有効活用できるか考えましょう。

以下、解答

解答

(1) 30個

(2) 775

(3) 10

解説

(1)

1から50のうち2の倍数の個数は、50÷2=25より25個です。

1から50のうち5の倍数の個数は、50÷5=10より10個です。

ここで、答えは35とはならないことに注意しましょう。

上でカウントした35個の数の中には、2の倍数と5の倍数とで2回重複してカウントされたものが混ざっています。

2の倍数と5の倍数で両方登場する数は最小公倍数の10の倍数の数なので、50÷10=5個あります。よって35-5=30個

(2)

$\displaystyle 1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ を利用してみましょう。

2の倍数の総和は、

2+4+6+...+48+50=2(1+2+3+...+24+25)=2×(25×26)/2=650

5の倍数の総和は、

5+10+15+...+45+50=5(1+2+3+...+10)=5×(10×11)/2=275

この2つを足すのみだと、先ほどと同様、10の倍数が2回足されてしまうので、

10の倍数の総和は、

10+20+30+40+50=150

よって650+275-150=775

(3)

$\displaystyle \frac{1}{50},\frac{2}{50},\dots,\frac{50}{50}$

既約分数と約分できる分数にどんな違いがあるかを考えます。

約分できる分数は、分母が50=2×5×5であることから、分子が2か5で割り切れる、つまり分子が2の倍数か5の倍数であることが分かります。逆に、既約分数は分子が2でも5でも割り切れないもの、と言えます。そこで、

(1/50から50/50全ての総和)-(約分できる分数の総和)=(既約分数の総和)

で求めます。1/50から50/50全ての総和は、

$\displaystyle \frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\frac{3}{50}+\dots+\frac{50}{50}=\frac{1+2+3+\dots+50}{50}=\frac{\frac{50\times51}{2}}{50}=\frac{1275}{50}=\frac{51}{2}$

約分できる分数の総和は、分子の合計は(2)がそのまま使えるので、

$\displaystyle \frac{775}{50}=\frac{31}{2}$

よって、答えは $\displaystyle \frac{51}{2}-\frac{31}{2}=\underline{10}$

補足

「1からnのうちaかbで割り切れる数の個数」と言われたら、

(aで割れる個数)+(bで割れる個数)-(abの最小公倍数で割れる個数)

で求めるのが普通です。ぜひ覚えましょう。

例　1から100までの中で12でも18でも割り切れない数の個数を求めよ。

12か18で割り切れる個数を求めて、それを100から引いて求めます。

12で割り切れる個数は、100÷12=8...4より8個

18で割り切れる個数は、100÷18=5...10より5個

余分に数えている分は、12と18の最小公倍数の36の倍数だから、

100÷36=2...28より 2個

以上から、12か18で割り切れる個数は8+5-2=11個

よって答えは100-11=89個

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written by k