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中学生でも解ける外伝 高校入試難問72★ 灘高

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新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。

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問題

[x] は、x を超えない最大の整数を表すものとする。
x の方程式 [x]+[2(x-[x])]=5 を満たすx のうち、最小のものを求めよ。

 

 

 

 

ヒント、着眼点

定義より[x] は必ず整数となるから、 
[x],\ [2(x-[x])]
はともに整数であることに注意します。また、いかなるx についても、
0\leqq x-[x]<1
が成り立ちます。

 

 

以下、解答

 

 

 

 

 


解答

4.5

 


解説

[x]+[2(x-[x])]=5\dots①

 

0\leqq x-[x]<1 より0\leqq 2(x-[x])<2 だから、
[2(x-[x])]=0,\ 1 である。

 

(i) [2(x-[x])]=0 のとき

①は[x]=5 となるので、これを満たす最小のx は、x=5

 

(ii) [2(x-[x])]=1 のとき

①は[x]=4 となる。また、
[2(x-[x])]=1\\1\leqq2(x-[x])<2\\\frac{1}{2}\leqq x-[x]<1
であるから、これらを満たす最小のx は、x=4.5

 

 

記号の意味をしっかり理解するのが重要。

[x]x の整数部分のことで、
x-[x] は小数部分のことであることに気づくと解法が見えやすいかも。

 

ちなみにこのような問題は高校生以上でもできない人が多いです。

 

 

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