おそらく日本人のほぼすべての人が初めて知る無理数であるπ。これは円周率のことで、円の直径と円周の長さの比を表す値です。 我々は数学の時間に、円や扇形の問題で何度もπを目にします。πの本来の定義からして、幾何学でπを目にするのはある種の必然だと言…

ミル定数という定数をご存知でしょうか。ミル定数とは、素数と興味深い繋がりがある、とある実数の定数です。1946年にMillsが見つけました。 A=1.3063778838... この2にも満たない値を使って、次のような式を考えます。 ここで、とは、実数xを超えない最大の…

かつてゆとり教育という政策により、「2002年度実施の小学校学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3と教えることになった」という噂が流れました。これは間違っているのですが、訂正されることなく広まり、大…

入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。ついに第3回。 第一回 こちら 第二回 こちら 第三回 この記…

入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 こち…

入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 この…

あけましておめでとうございます。2021年もどうにかブログを続けようと思います。今年もよろしくお願いします。 2021は43×47と素因数分解できることは有名でしょう。高校入試に出てもおかしくないレベルです。 2021=2025-4=452-22=(45+2)×(45-2)=47×43 さて…

大学の数学というのは分野が非常に細分化されており、その1つを究めるだけで精一杯、という世界です。その中でも筆者が現在関心のある分野である結び目理論について、中学生でも理解できる言葉だけ（たまに外れるかもしれません）で、その面白さを説明してみ…

中学2年で連立方程式を習い、そこで割合と絡めた問題として、次のような問題がよく出ます。誰もが何度も目にしたことがあるでしょう。 ある学校の昨年の入学者は男女合わせて500人だった。今年は昨年に比べて、男子が3%減り、女子は2%増えたので、入学者は計…

実数の数直線上にどれくらい有理数が存在するかを考えてみます。言い方を変えれば、有理数はどれくらいぎっしりと詰まっているかを調べてみます。 有理数がぎっしりと詰まっていること、大学以降の数学では有理数の稠密性といいますが、今回はこの性質をいく…

大学入試で出る積分の問題は、当たり前ですが高校までの知識で求められる積分しか出ません。今回は大学以上の知識で求められる有名な積分を見てみます。また、高校数学の範囲を超えている部分をうまいこと避けて入試問題が作られる場合がありますから、その…

前回はなかなか難しい話題でした。今回は前回より少しとっつきやすい話題、フラクタル図形についていくつか見てみます。後で述べますが、有名なシェルピンスキーのギャスケットと呼ばれる図形は"およそ1.58次元の図形"と言うことが出来ます。そんな話につい…

前回はそこまででしたが、今回はディリクレの関数のように、本当の意味で病的な話になります。 数学における直線の扱いで「太さ、幅をもたない」という特徴がありますよね。この直線を何回も折り曲げたり曲げたりして出来たものが（幅のある）領域を埋め尽く…

今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。 簡単？な因数分解 不思議な因数分解 円分多項式 簡単？な因数分解 まずは簡単な因数分解から始めましょう。当然、と因数分解されます。 では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で…

前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。 ディリクレの関数 リーマン積分できないことの証明 区分求積法 リーマン積分できない証明 ルベーグ積分 ディリクレの関…

数Ⅱで初めて微分を習い、数Ⅲでより深く微分を習います。高校数学で見る微分可能な関数は、基本的に何回でも微分できます。 しかし、登場しないだけであって、高校数学の範囲内でも、1回微分可能だが2回微分不可能な関数は作れます。一般に、n回微分可能だがn…

歴史的に有名な反例をいくつか見てみましょう。 病的な数学① 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関数 病的な数学④ ディリクレの関数 病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式 病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線 病的な数学⑦ シェルピンスキーのギャスケット …

数学を勉強するにあたり、反例を考えるということは非常に重要です。反例を見ることで、「できること」と「できないこと」、「成り立つ場合」と「成り立たない場合」の境界がよりはっきりし、より深い理解が得られます。 この病的な数学というシリーズで、面…

2020年4月11日、自粛要請のため日比谷生の皆さんは家庭で勉強されているかと思います。その息抜きになることを願って、この「10958問題」を紹介します。 問題設定 具体例 10958問題 問題設定 1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字をこの順番で1回ずつ使って、さまざまな…

2020年4月3日、数学の超難問であった「ABC予想」を証明したとされた論文が、8年に及ぶ査読の末、正しいことが認められました。「フェルマーの最終定理」や「ポアンカレ予想」の証明に並ぶ快挙であると言われています。今回はこのABC予想の内容や、何がすごい…

今回の記事は数IIBまでの範囲でぎり理解可能な内容です。できれば数IIIまでの知識を要求します。 今回は複雑な式が多く、すいすい読むのは厳しいかと思われます。ぜひ紙とペンを用意して手を動かしながらお楽しみください。 目的は、 が複素数の範囲内でどう…

前回 【数学小話】３：４：５の直角三角形の鋭角は何度？ 今回は高校生向けです。春休みに早く突入して暇を持て余す高校生は、ぜひ式を一つ一つ追いながらチャレンジしてみてください。 前回は３：４：５の直角三角形の鋭角が(無理数)度であることを示しまし…

2次方程式の解の公式はこんな形をしていました。 これを習い、そして2次方程式を解く計算問題をたくさん解いた当時、「二次方程式が と表される数を解に持つとき、かならず も解にもつのか？」と疑問に思いました。実際、この予想は正しいです。今回はその証…

この記事はこちらの続編とまでは行きませんが、非常に関連しているのでまだお読みでない方は、さきにこちらをご覧ください。 【数学小話】当たり前なことほど示すのが難しいよねって話 こちらの記事の最後で少し触れましたが、「1+1=2の理由として、１個の石…

数Bの数列の単元で登場するやや難しめの問題として、格子点の個数を求める問題があります。このタイプの問題の解法を研究してみます。 問題 解法①xまたはyを固定する 解法②長方形内にある格子点の半分 解法③nを1増やしたときの格子点の増加に注目する 解法④…

我々はあまり深く考えずに多くのことを まあそれは当然なりたつでしょう。当たり前だ。 と雑に片付けてしまいがちです。突き詰めていくと本当に成り立つとは簡単に言い切れないことはたくさんあります。例えば、このようなことを聞いたことがありませんか。 …

3辺が全て整数である直角三角形の最初の例として有名な3:4:5の直角三角形。1:1:√2とか1:2:√3とか、鋭角が特別な値なものも習いますが、この3:4:5の直角三角形は鋭角が何度であるかは中学校では一切触れられません。今回は高校数学までの知識で、この角度を考…

こんなところにも自然対数eが登場するという、不思議な例を見てみます。 問題 漸化式を作る 一般項を求める プレゼント交換がうまくいく確率 1/eに収束する理由 問題 n個の整数 1,2,3,...,nを、１番目に１が、２番目に２が、...、n番目にnが来ないように、1…

日常生活で、この足し算は無限になるか、有限の値に収まるか、気になる瞬間はたくさんありますよね。ということで、有限になるか、無限になるかのクイズを用意してみました。 級数クイズ 問1. 調和級数 問2. 等比級数 問3. 交代級数 問4. バーゼル問題 問5. …

高校受験でやや発展的な内容として扱われるものとして、解と係数の関係があります。少し難易度の高い私立高校では受験問題でその知識が要求されることがあります。公立高校の受験ではめったに出題されないテーマですが、今回はこのことについての記事です。…