中学生でも解ける外伝高校入試難問７０★★★ 巣鴨高

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新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。

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問題
★★★

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図のように、∠ABC=90°の直角三角形ABCがあり、∠BAD=20°、∠CAD=30°である。BD=1、CD=aとするとき、ADの長さをaを用いて表せ。

ヒント、着眼点

直角三角形、20°、30°、これだけではどうにもなりません。鋭角が20°の直角三角形の辺の長さの比が簡単にでるわけでもありませんし。

うまーく補助線を引いてください。書かれていない角度を求めてみると、もしかしたら思いつくかも…？

以下、解答

解答

$\sqrt{2(a+2)}$

解説

下のように、BCをB側に延長し、∠BAE=20°となるようにEをとる。

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このとき∠AEB=∠ADB=70°、∠EAD=40°、また∠EAC=70°、∠ACB=40°なので、

△CAE∽△AEDとなる。

AD=AE=xとおくと、CE:AE=AE:EDだから、

$(a+2):x=x:2$

xは正だから $x=\sqrt{2(a+2)}$

この補助線をうまく思いつけばよいのですが...

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written by k

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