中学生でも解ける外伝 高校入試難問３１★★ 早稲田実業
↓ここからカテゴリー別に記事を見ることができます。↓
★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。
★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。
★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。
問題
★★
あるそば屋では、そばに入れる具がA,B,Cの3種類あり、
AとBが入っているそばは470円
BとCが入っているそばは520円
AとCが入っているそばは490円
である。具が入っていないそばの値段は100の倍数である。(0円ではない。)A,B,C全ての具が入っているそばの値段として考えられるものを全て答えよ。
ヒント、着眼点
a,b,c,nを自然数とし、具A,B,Cの値段をそれぞれa,b,c円とし、具のないそばの値段はn円としましょう。 すると、
n+a+b=470...①
n+b+c=520...②
n+a+c=490...③
となります。
文字が4つあり式は3つしかないので、n,a,b,cの組はただ1つに定まりません。一般に、(文字の個数)≦(式の個数)が成り立っている連立方程式は、解が1組に定まります。
全ての具の入ったそば値段は、n+a+b+cで表されます。この値としてありえるものを①②③の3つの式をうまく使って求めることになります。
以下、解答
解答
540円、590円、640円、690円
解説
n+a+b=470...①
n+b+c=520...②
n+a+c=490...③
nは100の倍数ですが、①②③の右辺から、nは100,200,300,400しかありえません。ここに気付かないと解けません。
①からそばに具a,bを入れて470円なので、具なしのそばの値段が500円以上にはなりません。
具が全て入ったそばの値段はn+a+b+cなので、この形をうまく作ります。
①②③の全ての式を足すと、
3n+2(a+b+c)=1480
変形して、
n+2n+2(a+b+c)=1480
2(n+a+b+c)=1480-n
n+a+b+c=740-n/2...④
よって、④の右辺にn=100,200,300,400をそれぞれ代入したときの値が答えになります。
n=100のとき、n+a+b+c=690
n=200のとき、n+a+b+c=640
n=300のとき、n+a+b+c=590
n=400のとき、n+a+b+c=540
補足
A+B=10、B+C=8、C+A=12
のとき、A,B,Cを求めよ。
このような問題は、3つの式を全て足して、
2(A+B+C)=30
A+B+C=15
この式とA+B=10より、C=5
この式とB+C=8より、A=7
この式とC+A=12より、B=3
このようにして、A+B+Cの値を求めるのが定石です。
そばの問題もこのパターンの形式になっていたので、とりあえず3つの式を全部足そうと思った人は多いでしょう。そばの問題は、文字の個数より式の個数の方が少なかったので、具体的にa,b,cを求めることはせずに答えをだすことになりました。各文字の値は求めずに、答えを表すn+a+b+cの値を求めるという少し特殊なテクニックがいる問題でした。
↓ 前回と次回
written by k
Copyright © 2017 日比谷高校のススメ All rights reserved.
