中学生でも解ける外伝 高校入試難問71★ 灘高
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新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。
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問題
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AB=9cm、BC=8cmの長方形ABCDと、この長方形の周および内部に含まれる円P、円Qがある。図のように、円Pは2辺AB、BCで、円Qは2辺、CD、DAで、それぞれ長方形に接しており、円Pと円Qは互いに接している。このとき、円Pと円Qの中心間の距離を求めよ。
ヒント、着眼点
この問題のような図自体はよく見ます。円の中心と接点を結んで三平方を使うまでがおきまりの流れですね。
ただ、この問題のやっかいなところは、2つの円の半径がどちらも分かっていないところです。残念ながらこの問題の条件だけでは個別の半径は求まりません。というのもこの問題では条件が足りないからです。縦9cm、横8cmの長方形に、互いに外接する2つの円が内接する、という条件だけでは円が一意に定まらないからです。
このような問題は、個別の半径は分からなくても、中心間の距離は常に一定になっていて、求まるようになっています。なので、個別の半径をr、Rなどとおいて考えるよりは、答えの中心間の距離を直接xなどと置くのがよいです。
以下、解答
解答
5cm
解説
Pの半径をR、Qの半径をrとする。
x=r+Rと置けば、中心にできる直角三角形の三辺の長さが8-x、9-x、xとなるので、
これを解いて、
であるから5cm
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