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中学生でも解ける外伝 高校入試難問40★ 2006年都立国立高

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★  ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

 

今回は2006年の空間図形です。

 

 

問題

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図1

 

図1で、曲線lは関数y=ax^2のグラフ、直線mは関数y=x+bのグラフを表している。ただしa,bは正の数である。

曲線lと直線mの2つの交点のうち、x座標が負である点をA、正である点をBとするとき、以下の問いに答えよ。

 

(1) b=10/3、点Aのx座標が-2のとき、aの値を求めよ。

 

(2) 図2は、図1において、点Aの座標が(-2,1)、点Bの座標が(6,9)であるときを表している。

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図2


線分AB上に点Cをとり、点Cからx軸にひいた垂線と曲線lの交点をDとする。

△ABDの面積が16のとき、点Cの座標を求めよ。

 

(3) 図3は、図1において、点Aのx座標が-2、点Bのx座標が4のときを表している。

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図3

 

1辺の長さが1の正方形PQRSを、頂点Pが直線l上に、頂点Rが曲線上にあるように作る。

ただし、点Rのx座標は点Pのx座標より大きく、点Rのy座標は点Pのy座標より小さく、点Pと点Sのy座標は等しいものとする。

このとき、点Pのx座標を求めよ。

 

 

 

 

 

 

ヒント、着眼点

 

(2) AとBの座標からa,bの値が分かります。Cのx座標を求める問題なので、これをtとおき、Dの座標や△ABDの面積をtで表します。

(3) たまに勘違いをする人がいますが、(3)のa,bの値と(2)で求めたa,bの値は必ずしも一致しません。(3)の冒頭で「図3は、図1において、」とあるところから、a,bの値はリセットされていることを読み取りましょう。ですから、まずはaとbの値を求めるところからやりましょう。

また、点Pのx座標を求めよとあるので、やはりこれをtとおいて、Q, R, Sの座標をtで表したりしてみましょう。

 

 

 

以下、解答

 

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解答

 

(1) a=1/3

(2) 2

(3) √5

 

 


解説

 

(1) b=10/3より直線mの式はy=x+10/3なので点Aの座標は(2,4/3)

これをy=ax^2に代入して、a=1/3

 

(2) A, Bいずれかの座標をy=ax^2に代入して、a=1/4y=x+bに代入してb=3

Cのx座標をtとすると、C, Dの座標はそれぞれ(t,t+3), (t,t2/4)

よって、CD=(t+3)-t2/4=-t2/4+t+3なので、

△ABD=(-t2/4+t+3)×{6-(-2)}×1/2=-t2/+4t+12

 これが16となるから、

-t2/+4t+12=16

これを解いて、t=2

 

(3)

Aのx座標が-2だから、これをy=ax^2y=x+bにそれぞれ代入すると、

y=4a, y=b-2より4a=b-2...①

Bのx座標が4だから、これをy=ax^2y=x+bにそれぞれ代入すると、

y=16a, y=b+4より16a=b+4...②

①と②を連立して、a=1/2, b=4

点Pのx座標をtとすると、P(t,t+4)

PQRSが1辺1の正方形なので、Rの座標は(t+1,t+3)

また、Rは曲線l上にあるから、y=\frac{1}{2}x^2にx=t+1, y=t+3を代入して、

\displaystyle t+3=\frac{1}{2}(t+1)^2

これを解くと\displaystyle t=\pm\sqrt{5}

点Pは線分AB上の点だから、-2≦t≦4なのでt=√5

 

 

 

この問題のように、ある点のx座標をtとおいて方程式をつくるタイプは、x座標をtとおいた点とは別の点の座標を2通りで表す、ということで解けることが多いです。別の点がy=ax^2上にあるから、ある点とx座標が1ずれているから、などといった観点から式を作るのです。

 

 

 

 

 ↓ 次回と前回

 

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