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中学生でも解ける外伝高校入試難問３３★★ ラ・サール高

中学生でも数学

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

問題

★★

図において点Aは放物線 $\displaystyle y=ax^2(a＞0)$ 上にあり、そのx座標は4である。点B(b,0)、C(c,0)はx軸上にあり、b<0、c>0である。このとき線分ABと放物線 $\displaystyle y=ax^2$ とのA以外の交点をDとすると、点Dのy座標は2となり、さらにAD:DB=3:1となる。次の問いに答えよ。

(1) aの値を求めよ。

(2) bの値を求めよ。

(3) 直線OAが∠BACの2等分線となるとき、 $\displaystyle \rm AC^2:\rm OC^2$ を最も簡単な整数の比で表せ。

(4) (3)の時のcの値を求めよ。

f:id:hby:20181204234307j:plain

ヒント、着眼点

(1)と(2)は楽に解けるくらいの実力があると好ましいです。

(3)は求める物が $\displaystyle \rm AC^2:\rm OC^2$ と、あまり見ない形なので戸惑うかもしれませんが、「直線OAが∠BACの2等分線」というヒントからやれそうなことはほぼ1つでしょう。

以下、解答

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解答

(1) $\displaystyle a=\frac{1}{2}$

(2) $\displaystyle b=-4$

(3) $\displaystyle 8:1$

(4) $\displaystyle c=\frac{20}{7}$

解説

(1)

f:id:hby:20181205000340j:plain

図のようにE,Fをとると、△ADF∽△ABEである。AD:DB=3:1より、AF:FE=3:1で、FE=2よりAF=6

よってAのy座標は8、つまりA(4,8)なので、

$\displaystyle 8=a\times4^2$ より、 $\displaystyle a=\underline{\frac{1}{2}}$

(2) (1)より、放物線の式は $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$ で、Dのy座標は2、x座標は負より、D(-2,2)

よってDF=6

△ADF∽△ABE、AD:DB=3:1より、DF:BE=3:4だからBE=8

よって4-b=8、b=-4

(3) 直線OAが∠BACの二等分線なので、

AB:AC=BO:OC

よって

AB:BO=AC:OC

$\displaystyle \rm AB^2:\rm BO^2=\rm AC^2:\rm OC^2$

$\displaystyle \rm AC^2:\rm OC^2=\rm AB^2:\rm BO^2=\{(4+4)^2+8^2\}:4^2=8:1$

(4) (3)の結果から、

$\displaystyle \rm AC^2=8\times\rm OC^2$

であるから、

$\begin{align} (c-4)^2+8^2=8c^2\\7c^2+8c-80=0\\(7c-20)(c+4)=0\end{align}$

cは正なので、

$\displaystyle c=\underline{\frac{20}{7}}$

二次関数に相似を利用した長さの比、角の二等分線と、xy座標なのに平面図形の問題をやらされている気分になってくる問題です。

↓ 前回と次回

hibiyastudy.hatenablog.com

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written by k

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