中学生でも解ける外伝 高校入試難問３７★★ 法政大学女子高

★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

問題

★★

図のように、4点O(0,0)、A(2,9)、B(8,6)、C(8,0)を頂点とする四角形OABCがある。次の問いに答えよ。

(1) △OABの面積を求めよ。

(2) 点Aを通り、△OABの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

(3) 点Bを通り、四角形OABCの面積を3等分する2本の直線の式をそれぞれ求めよ。

ヒント、着眼点

(2) 1つの頂点を通りつつ三角形の面積を2等分する直線は、その頂点の向かい側にある辺の中点を通ります。

(3) 四角形OABCの面積を求めれば、その3等分がいくつになるかが分かります。それをもとに、直線がどこを通るかを決めていきましょう。

以下、解答

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解答

(1) 30

(2) y=-3x+15

(3) y=x-2とy=(1/3)x+(10/3)

解説

(1)

図のようにDをとる。

△OAB

=台形OADC-△ABD-△ABC

={(6+8)×9÷2}-{6×3÷2}-{8×6÷2}

=30 

(2)

点Aを通り△OABの面積を2等分する直線は辺OBの中点を通る。

辺OBの中点をMとすると、Mの座標は(4,3)なので、A(2,9)とM(4,3)を通る直線の式は、y=-3x+15 

(3)

△OBCの面積は、8×6÷2=24より、四角形OABCの面積は30+24=54

よって3等分した面積は18

辺OC上に点Pをとり、PC=aとすると、a×6÷2=18より、a=6

よってPのx座標は8-6=2より、P(2,0)

B(8,6)とP(2,0)を通る直線の式は、y=x-2

また、△OPB=6である。辺OA上にQをとり、四角形OPBQ=18となるとき、△OQB=18-6=12である。

△OAB=30,△AQB=12より、OA:OQ=5:2、よってOQ:QA=2:3

A(2,9)より、2×2/5=4/5、9×2/5=18/5なのでQ(4/5,18/5)

B(8,6)とQ(4/5,18/5)を通る直線の式は、y=(1/3)x+(10/3)

 ↓ 次回と前回

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written by k