【数学小話】病的な数学③　1回しか微分出来ない関数

数Ⅱで初めて微分を習い、数Ⅲでより深く微分を習います。高校数学で見る微分可能な関数は、基本的に何回でも微分できます。

しかし、登場しないだけであって、高校数学の範囲内でも、1回微分可能だが2回微分不可能な関数は作れます。一般に、n回微分可能だがn+1回微分不可能な関数が作れます。

今回は数IIIの最初の方で習う単元と深く関係しています。

だいたい何回でも微分できる
導関数、微分可能性(数Ⅱ、Ⅲ)
1回しか微分できない関数
ずるい作り方

最初は微分、連続、微分可能という定義の確認から始まります。面倒なら飛ばしてください。

だいたい何回でも微分できる

高校までに登場するほとんどの微分できる関数は何回でも微分できます。（大学以降では、このことを $C^{\infty}$ 級であるとか、滑らかであるとか言います）

・二次関数

$ax^2+bx+c\\\xrightarrow{微分} 2ax+b\\\xrightarrow{微分} 2a\\\xrightarrow{微分} 0\\\xrightarrow{微分} 0\xrightarrow{微分} \dots$

・n次関数

$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\\\xrightarrow{微分} na_nx^{n-1}+\dots+a_1\\\xrightarrow{微分} \dots \\\xrightarrow{微分} n!a_n\\\xrightarrow{微分} 0\xrightarrow{微分} \dots$

・三角関数

$\sin{x}\\\xrightarrow{微分} \cos{x}\\\xrightarrow{微分} -\sin{x} \\\xrightarrow{微分} -\cos{x}\\\xrightarrow{微分} \sin{x}\\\xrightarrow{微分} \cos{x}\\\xrightarrow{微分} \dots$

・対数関数

$\log{x}\\\xrightarrow{微分} \frac{1}{x}\\\xrightarrow{微分} -\frac{1}{x^2} \\\xrightarrow{微分} \frac{2}{x^3}\\\xrightarrow{微分} -\frac{6}{x^4}\\\xrightarrow{微分} \dots$

・指数関数

$\mathrm{e}^{x}\\\xrightarrow{微分} \mathrm{e}^{x}\\\xrightarrow{微分} \mathrm{e}^{x} \\\xrightarrow{微分}\dots$

n次多項式ならn+1回微分すると0になり、以後ずっと0が続きます。また、これらの関数を定数倍したり、関数同士を足したりかけたりしたものも、無限回微分可能です。

導関数、微分可能性(数Ⅱ、Ⅲ)

導関数の定義(数Ⅱ)

関数 $f(x)$ に対して、

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

で定義される関数 $f'(x)$ を、 $f(x)$ の導関数という。

関数の導関数を求めることを微分するとか言いますね。この極限の式をどう解釈、理解するかはここでは触れません。

関数の連続性(数Ⅲ)

実数aに対し、関数 $f(x)$ がx=aで連続であるとは、

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

が成り立つときをいう。

関数 $f(x)$ が全ての実数aで連続であるとき、単に $f(x)$ は連続であるという。

要するに関数が連続であるとは、グラフを書いたときにひとつながりの線になる、という意味です。連続でない関数は、例えばこのようなものです。

f:id:hby:20200503115634j:plain

他にも、中学生の時に関数という単元で、荷物を運ぶ料金を表すグラフがどうたら、というので見たのではないでしょうか。

微分可能性(数Ⅲ)

実数aに対し、関数 $f(x)$ がx=aで微分可能であるとは、

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

が存在するときをいう。

関数 $f(x)$ が全ての実数aで微分可能であるとき、単に $f(x)$ は微分可能であるという。

一般に、関数が必ず微分できるとは限りません。ここで述べたように、極限が一つに定まらなければなりません。ここではhを0に限りなく近づけるわけですが、hを正から0に近づけても負から0に近づけても同じ値にならなければなりません。

$f(x)=\frac{1}{x}$ について、xを0に近づける時、正から0に近づけると+∞になり、負から0に近づけると-∞になります。このように、極限はどんな時も一つに定まるわけではないのです。

1回しか微分できない関数

目的の1回しか微分できない関数を紹介しましょう。そこまで難しくありません。これです。

$f(x)=\begin{cases} -x^2\ (x＜0)\\　x^2 \ (x\geqq 0) \end{cases}$

f:id:hby:20200506150139j:plain

グラフで書くとこれです。まずはこれが1回微分できることを確かめてみます。

$x＜0$ のとき、 $f'(x)=-2x$
$x＞0$ のとき、 $f'(x)=2x$

なので、 $x=0$ 以外で微分できるのは明らか。 $x=0$ で微分可能であることを調べる。そのためには、極限

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

がhを正から近づけても負から近づけても一つに定まらなければならない。正から近づけるとき、

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow +0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\=\displaystyle\lim_{h\rightarrow +0}\frac{h^2-0}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow +0}h=0$

負から近づけるとき、

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow -0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\=\displaystyle\lim_{h\rightarrow -0}\frac{-h^2-0}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow -0}-h=0$

よって、極限が一致するので、

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=0$

となり、 $x=0$ でも微分可能である。

ということで、微分出来ました。微分した関数は、

$f'(x)=\begin{cases} -2x\ (x＜0)\\　2x \ (x\geqq 0) \end{cases}$

でした。 $f'(x)=|2x|$ と書くこともできますね。

当然、この関数は原点で折れ曲がっているので、(x=0において)微分不可能です。

ということで、この関数は、x=0において1回だけ微分できる関数でした。(他の全てのxでは何回でも微分できる)

このように、1回だけ微分できる関数は、場合分けを使い、場合分けの境界においてもうまく微分できるようにうまく調整したものが挙げられます。

ずるい作り方

1回だけ微分できる関数として、

$f(x)=\begin{cases} -x^2\ (x＜0)\\　x^2 \ (x\geqq 0) \end{cases}$

を紹介しましたが、自分でもこういう例を作りたい！とお思いの皆様へ、ずるい方法(?)を紹介します。それは、

微分不可能な関数を1回積分する

です。(積分して作った関数が連続になるように積分定数をうまくとる必要があるかもしれませんが)

$x=0$ において微分不可能な関数
$g(x)=\begin{cases} -2x\ (x＜0)\\　2x \ (x\geqq 0) \end{cases}$
を積分すれば、
$G(x)=\begin{cases} -x^2\ (x＜0)\\　x^2 \ (x\geqq 0) \end{cases}$
になります。これを1回微分すると $g(x)$ に戻りますよね。ですから1回だけ微分できる。

もうお気づきかもしれませんが、もう一回積分すれば、2回だけ微分できる関数が得られます。繰り返せば、n回だけ微分できる関数が作れます。

ただ、欠点として、変な関数を用意するとうまく積分出来ないかもしれません。一般に、微分することよりも、不定積分を求めることの方がよっぽど難しいです。例えば、

$\frac{\sin{x}}{x}$

の不定積分は初等関数(大まかに言うと高校までで習う関数)の組み合わせで表すことが出来ないことが知られています。

written by k

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