中学生でも解ける大学入試数学５２★★ 2019年千葉大

問題
★★

正の約数の個数がちょうどm個であるような、1900以上の自然数のうち最小のものを $d_m$ とする。

(1) $d_5$

(2) $d_{15}$

ヒント、着眼点

難関高校受験でも習う約数の個数の求め方を知っていれば方針が決まりやすいのではないでしょうか。

一応公式を書いておきます。

自然数 $n$ が以下のように素因数分解されたとする。

$n=p^a\times q^b\times r^c\times\dots$

この時、 $n$ の約数の個数は $\underline{\textbf{(a+1)(b+1)(c+1) }\dots }$

(ここで、 $p,q,r,\dots$ は素数、 $a,b,c,\dots$ は指数)

つまり、素因数分解したときの指数をそれぞれ1足してかければ求められます。例を見てみます。

例①

$36=2^2\times3^2\\(2+1)(2+1)=9$

36の(正の)約数は9個

例②

$12=2^2\times3\\(2+1)(1+1)=6$

12の(正の)約数は6個

※今回の例のように、指数が書かれていないときは1乗と見ます。

例③

$16=2^4\\(4+1)=5$

16の(正の)約数は5個

※素因数が1種類でも構いません。

このようにして正の約数の個数が求められます。

では、 $d_5$ と $d_{15}$ を考えてみましょう。

以下、解答

解答

(1) 2401

(2) 1936

解説

(1) 約数の個数を求める方法より、約数が5個になる自然数は、ある素数 $p$ によって $p^4$ と表されるもののみである。p=2,3,5,7,...と代入していくと、1900以上になる最小の $p$ は7で、このとき $7^4=2401$

参考

$2^4=16\\3^4=81\\5^4=625\\7^4=2401\\11^4=14641$

(2)

約数が15個になるのは、次の2通りが考えられる。

(i) $p^14$

(ii) $p^2\times q^4$

ただし、 $p,q$ は異なる素数

(i)

一番小さいものは $2^14=16384$

(ii)

$q^4$ の方から絞っていく。

・ $q=2$ のとき

$p^2\times2^4=16p^2$ である。ここで、不等式

$16p^2\geqq1900$

は

$p^2\geqq118.75$

となる。この不等式を満たす最小の素数pは11で、

$11^2\times2^4=1936$

・ $q=3$ のとき

$p^2\times3^4=81p^2$ である。ここで、不等式

$81p^2\geqq1900$

は

$p^2\geqq23.46\dots$

となる。この不等式を満たす最小の素数pは5で、

$5^2\times3^4=2025$

・ $q=5$ のとき

$p^2\times5^4=625p^2$ である。ここで、不等式

$625p^2\geqq1900$

は

$p^2\geqq3.04\dots$

となる。この不等式を満たす最小の素数pは2で、

$2^2\times5^4=2500$

・ $q=7$ のとき

$p^2\times7^4=2401p^2$ より、pがどんな素数でも1900より大きくなる。

・ $q$ が7以上の素数のときは、 $q^4$ が1900より大きくなるので、調べなくてよい。

以上から、1936

補足

(1)で、なぜ $p^4$ と表されるもののみと言い切れるのでしょうか。それは、5が素数であることと、約数の個数を求める公式の形からわかります。

自然数 $n$ が以下のように素因数分解されたとする。

$n=p^a\times q^b\times r^c\times\dots$

この時、 $n$ の約数の個数は $\underline{\textbf{(a+1)(b+1)(c+1)}\dots}$

(ここで、 $p,q,r,\dots$ は素数、 $a,b,c,\dots$ は指数)

正の約数が5個である整数を因数分解したとき、2つの素数が登場するとしたら、約数の個数は $\textbf{(a+1)(b+1)}$ となりますが、 $a,b$ がともに1以上であり、 $(a+1),\ (b+1)$ はともに2以上であるので、この値は決して5にはなりません。 $(a+1)(b+1)(c+1)$ という形で5を作るには、そもそもカッコが1つで、a=4の時しかありえないのです。