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中学生でも解ける大学入試数学６７★★ 2016年埼玉大

中学生でも数学

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約数の個数、総和は難関高校入試にしれっと登場しますが、普通に高校数学の範囲ですよね。

問題
★★

自然数nに対して、nの正の約数の総和を $s(n)$ と書くことにする。

(1) kを自然数、pを3以上の素数とするとき、 $s(2^kp)$ を求めよ。

(2) $s(2016)$ を求めよ。

(3) 2016の正の約数nで、 $s(n)=2016$ となるものを全て求めよ。

ヒント、着眼点

約数の総和を求める公式、難関高校受験では個数を求める公式とセットで習います。

約数の個数、総和の公式

整数nが、

$n=p^a\times q^b\times r^c\times\dots$

と素因数分解されるとき、約数の個数は、

$(a+1)(b+1)(c+1)\dots$

であり、約数の総和は、

$(1+p+p^2+\dots+p^a)(1+q+q^2+\dots+q^a)(1+r+r^2+\dots+r^a)\dots$

である。

これを使えば、(2)までは容易に解けます。(3)が少し考えさせられる問題です。

また、(1)で、これを使ってください。

$1+2+2^2+\dots+2^k=2^{k+1}-1$

これは2進数に変換して考えると簡単に証明できます。

以下、解答

解答

(1) $(2^{k+1}-1)(1+p)$

(2) 6552

(3) 672

解説

(1)

$2^kp$ がまさに素因数分解された形であるから、

$s(2^kp)=(1+2+2^2+\dots+2^k)(1+p)\\=\underline{(2^{k+1}-1)(1+p)}$

ただし、 $1+2+2^2+\dots+2^k=2^{k+1}-1$ を用いた。

(2)

$2016=2^5\times3^2\times7$ と因数分解されるから、

$s(2016)=(1+2+\dots+2^5)(1+3+3^2)(1+7)\\=63\times13\times8\\=\underline{6552}$

(3)

2016の正の約数nは、

$n=2^a\times3^b\times7^c$

(ただしa,b,cは整数で、0≦a≦5、0≦b≦2、0≦c≦1)

と書ける。このとき

$s(n)=(1+\dots+2^a)(1+\dots+3^b)(1+\dots+7^c)$

である。

$A=(1+\dots+2^a)\\B=(1+\dots+3^b)\\C=(1+\dots+7^c)$

と置く。

$A=1+2+\dots+2^a=2^{a+1}-1$

よりAは常に奇数で、

$s(n)=ABC=2016=2^5\times3^2\times7$

であるから、BCは $2^5=32$ の倍数である。

Bの値はbが0,1,2のときで

1
1+3=4
1+3+9=13

の3通り、

Cの値はcが0,1のときで

1
1+7=8

の2通りあるので、BCの値は6通り考えられる。

そのなかで32の倍数であるものは

b=1、c=1であるB=4、C=8の場合のみ。このときBC=32

ABC=2016よりA=63

$A=2^{a+1}-1=63$ よりa=5

よって、答えはa=5、b=1、c=1のときの、

$n=2^5\times3^1\times7^1=\underline{672}$

補足

Aが奇数であるからBCは32の倍数、ということに気づくかが勝負。

(1)と(2)は典型問題なので正解必須。(3)は合否を分けた問題と思われる。

前回

中学生でも解ける大学入試数学６６ 2013年埼玉大

次回

中学生でも解ける外伝高校入試難問６８早稲田実業高

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