中学生でも解ける外伝高校入試難問７３★★★ 慶應志木高

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新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。

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３０★★　巣鴨高

３５★　　灘高

３６★★★巣鴨高

３８★★　都立西高

問題
★★★

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図のように、３つの円A、B、Cが互いに外接していて、円Aと円Bの共通外接線lと円Bと円Cの共通外接線ｍは平行である。また、円Aと円Cの共通外接線nとの接線をそれぞれD、Eとする。円Aの半径が５、△ADEの面積が２０であるとき、円Bの半径ｒと円Cの半径ｒ’をそれぞれ求めよ。

ヒント、着眼点

円が接する問題は、円の中心と接点をとにかく結ぶことで直角三角形を作るのが定石です。

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△ADE=20より、DE=8はすぐに分かります。すると、円Aと円Cと共通外接線nについて、上のような直角三角形を作れば、r'が求まります。

この問題で難しいのは、rの値です。l//mをどう活かすかがポイントです。

以下、解答

解答

r=8

r'=16/5

解説

r'を求める

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△ADE=20より、DE=8

上図の赤い直角三角形で三平方の定理より、

$(5-r')^2+8^2=(5+r')^2\\r'=\frac{16}{5}$

rを求める

rを求めるために、l // m を使いたい。

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そこで、l // mを、この図におけるFH=GA+JC+CI という形で用いる。この図における直角三角形ACJの三辺の長さは、
$\mathrm{AC}=5+r'=\frac{21}{5}\\\mathrm{CJ}=2r-\frac{41}{5}\\\mathrm{AJ}=\mathrm{FG}-\mathrm{HI}$

と表すことができるので、FG-HIをrで表すことができればよい。

FG-HIについて

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△ABPで三平方の定理を用いる。
$\mathrm{FG}^2+(r-5)^2=(r+5)^2\\\mathrm{FG}^2=20r\dots①$

△BCQで三平方の定理を用いる。
$\mathrm{HI}^2+(r-\frac{16}{5})^2=(r+\frac{16}{5})^2\\\mathrm{HI}^2=\frac{64}{5}r\dots②$

すると、
$\mathrm{FG}^2:\mathrm{HI}^2=100:64$
となるから、
$\mathrm{FG}:\mathrm{HI}=5:4$
であるので、
$\mathrm{HI}=\frac{4}{5}\mathrm{FG}$
すると、
$\mathrm{AJ}^2\\=(\mathrm{FG}-\mathrm{HI})^2\\=(\mathrm{FG}-\frac{4}{5}\mathrm{FG})^2\\=\frac{1}{25}\mathrm{FG}^2\\=\frac{4}{5}r\ (①より)$

※①、②から
$\mathrm{FG}=2\sqrt{5r}\\\mathrm{HI}=\frac{8}{5}\sqrt{5r}$
として、
$\mathrm{AJ}^2\\=(\mathrm{FG}-\mathrm{HI})^2\\=(2\sqrt{5r}-\frac{8}{5}\sqrt{5r})^2\\=\frac{4}{5}r$
としてもよい。