中学生でも解ける外伝 高校入試難問７２★ 灘高
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。
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問題
★
は、
を超えない最大の整数を表すものとする。
の方程式
を満たす
のうち、最小のものを求めよ。
ヒント、着眼点
定義より は必ず整数となるから、
はともに整数であることに注意します。また、いかなる についても、
が成り立ちます。
以下、解答
解答
4.5
解説
より
だから、
である。
(i) のとき
①は となるので、これを満たす最小の
は、
(ii) のとき
①は となる。また、
であるから、これらを満たす最小の は、
記号の意味をしっかり理解するのが重要。
は
の整数部分のことで、
は小数部分のことであることに気づくと解法が見えやすいかも。
ちなみにこのような問題は高校生以上でもできない人が多いです。
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written by k
中学生でも解ける外伝 高校入試難問７１★ 灘高
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。
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問題
★
AB=9cm、BC=8cmの長方形ABCDと、この長方形の周および内部に含まれる円P、円Qがある。図のように、円Pは2辺AB、BCで、円Qは2辺、CD、DAで、それぞれ長方形に接しており、円Pと円Qは互いに接している。このとき、円Pと円Qの中心間の距離を求めよ。
ヒント、着眼点
この問題のような図自体はよく見ます。円の中心と接点を結んで三平方を使うまでがおきまりの流れですね。
ただ、この問題のやっかいなところは、2つの円の半径がどちらも分かっていないところです。残念ながらこの問題の条件だけでは個別の半径は求まりません。というのもこの問題では条件が足りないからです。縦9cm、横8cmの長方形に、互いに外接する2つの円が内接する、という条件だけでは円が一意に定まらないからです。
このような問題は、個別の半径は分からなくても、中心間の距離は常に一定になっていて、求まるようになっています。なので、個別の半径をr、Rなどとおいて考えるよりは、答えの中心間の距離を直接xなどと置くのがよいです。
以下、解答
解答
5cm
解説
Pの半径をR、Qの半径をrとする。
x=r+Rと置けば、中心にできる直角三角形の三辺の長さが8-x、9-x、xとなるので、
これを解いて、
であるから5cm
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written by k
中学生でも解ける外伝 高校入試難問７０★★★ 巣鴨高
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問題
★★★
図のように、∠ABC=90°の直角三角形ABCがあり、∠BAD=20°、∠CAD=30°である。BD=1、CD=aとするとき、ADの長さをaを用いて表せ。
ヒント、着眼点
直角三角形、20°、30°、これだけではどうにもなりません。鋭角が20°の直角三角形の辺の長さの比が簡単にでるわけでもありませんし。
うまーく補助線を引いてください。書かれていない角度を求めてみると、もしかしたら思いつくかも…？
以下、解答
解答
解説
下のように、BCをB側に延長し、∠BAE=20°となるようにEをとる。
このとき∠AEB=∠ADB=70°、∠EAD=40°、また∠EAC=70°、∠ACB=40°なので、
△CAE∽△AEDとなる。
AD=AE=xとおくと、CE:AE=AE:EDだから、
xは正だから
この補助線をうまく思いつけばよいのですが...
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written by k
