塾講師のバイトで中学生の教え子に次のようなことを言われました。 「虚数ってないんですか？そんなものを習う必要があるんですか？」 この中学生は虚数という言葉と、2乗したら-1になるということは知っているものの、具体的にどのように四則演算されるか、…

「周りの迷惑になりますので電車内での通話はご遠慮ください」 という言葉に対して、 「じゃあ周りの迷惑にならないなら通話してもいいのか」 といういちゃもんをつける人、いますよね。実はこれ、数学的にこのようないちゃもんは全く意味をなさないと断定で…

中学生でも解ける問題となると、どうしても整数問題が多くなってしまうのです。 問題 ★★ x,yを自然数、pを3以上の素数とするとき、以下の各問に答えよ。 (1) x2-y2=pが成り立つとき、x,yをpで表せ。 (2) x3-y3=pが成り立つとき、pを6で割った余りが1となるこ…

2連続2013年早稲田大学商学部からの出題です。 問題 ★★ 次の条件を満たす自然数a,b、正の奇数cの組(a,b,c)を考える。 2a=(4b-c)(b+c) (1) b=13のとき、a,cの値を求めよ。 (2) a≦2013である組(a,b,c)の個数を求めよ。 ヒント、着眼点 左辺は2のa乗なので、右…

とても暑い日々が続いたかと思いきや、台風がやってきたり、あわただしい夏ですね。 皆さんいかがお過ごしでしょうか。 今日は、私が趣味で個人的に作成した、日比谷高校予想問題を公開しようと思います。 前年度の入試より自校作成の制度が復活したこともあ…

おろそかになりがちな「定義」に関する問題です。 問題 ★ (1) 有理数の定義をかけ。 (2) 各命題の真偽を述べよ。真ならば証明を、偽ならば反例を一つ挙げよ。 (a) √5は無理数である。 (b) r , sがともに有理数ならば、積 rsは有理数である。 (c) aが無理数で…

1.モデルの概要 モデルがどのようなものであったかの確認をしておきましょう。 観測者の高さは634mとする 地球を完全な球体とし、地球上にはスカイツリー以外の建造物がないものとする 観測者のいる地点から出た光が直進して到達できる地点は「見える」もの…

スカイツリーの展望台に行ったときにふと思いました。 ここからどこまで見えるのか？ 展望台で一人スマホの電卓を起動して計算に没頭する男がそこにいた… さて、数学の問題として解くには、当然ある程度状況を簡単なものに置き換えます。これをモデル化とい…

やや複雑な確率の問題です。試行の内容をよく理解し、漏れの無いように全てのパターンを検討する力が試されます。 2012年慶應大学経済学部の数学最後の問題です。 問題 ★ 金貨と銀貨を一枚ずつ同時に1回投げる試行を行う。 金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨…

国立文系としてはちょうどよい難易度だと思います。理系ならばたやすく解けるべきでしょう。 北大後期日程の問題です。 問題 ★ 正の整数の組(a,b,c)が次の式を満たすとする。 a2+b2=c2 (1) a,b,cのうち少なくとも1つは偶数であることを示せ。 (2) a,b,cのう…

中3で展開について習います。高校に上がると3つ以上のカッコを展開することが増えます。 (x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab (x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc これらを見てある法則に気づくことができれば今回の問題も解けるかもしれません。 問題 (x-a)…

中学生でも解けるように、問題文を一部改変しています。ご了承ください。 問題 ★ 1から250までの自然数を考える。 (1) 22で割り切れるものの個数を求めよ。 (2) 22と32で同時に割り切れるものの個数を求めよ。 (3) 2以上のなんらかの自然数aの2乗a2で割り切…

5/27,29にtwitterで出題した物理クイズの解答です。2題両方の解答を載せました。 第1問 形も大きさも全く同じで重さだけが違う2つの銃弾があります。これらを2丁の全く同じ銃で真下に向けて同時に発射しました。先に地面に着弾するのはどちら？ twitterの結…

常識にとらわれない考えをするのはとても重要です。 問題 A君は家を出発し、北に10km、東に10km、南に10km進むと自分の家に着きました。A君の家は地球上のどこか？ 前回の解答 hibiyastudy.hatenablog.com 答え、赤い線の引いてあるところ そもそも根号(√ )…

hibiyastudy.hatenablog.com 前回は、大学受験の英語のレベルを知ってもらうための記事でした。 今日からは、前回の記事で紹介した、皆さんにつけてもらいたい力のうち、②構文解釈力を養成するための記事を書いていきたいと思います。 （①語彙力、③国語力は…

このシリーズでは初めての確率の問題です。確率は高校の数学でも習いますが、新しいことを多くは学びません。中学校で習う確率が十分理解できていれば高校の確率も、大学入試の確率もある程度解けてしまうのです。 2008年文系第4問。 問題 ★★ 1から6の目が等…

数学の小話として、よく「1=2」が証明できる！といったものを見ます。紹介しておきましょう。 b = a とします。この両辺に a を足すと a + b = 2a 両辺から 2b を引くと a - b = 2a - 2b (a - b) = 2(a - b) 両辺を (a - b) で割ると 1 = 2 他にもさまざまな…

1970年。非常に昔の問題です。なんと、完全に中学生までの知識で解くことができます。また、問題文に高校以上の単語が出現することもありません。 このような図形に対する大事な感覚を見る問題は一度はやるべきです。 問題 ★★ A(0,1),B(0,11)がある。x軸上の…

※2019/04/18 加筆修正 数学の面白さとは何か。数学の良さとは何か。これは数学を勉強する上で知っておくべきことです。面白さを感じず、利点も分からず、ただ数と文字をこねくり回すだけのものだと思いながらやる数学ほどつまらないものはありません。数学の…

個人的に、問題文が短い問題は好きです。洗練されていて、どこか美しさがありますよね。 問題 ★ どのような負でない整数m,nを用いても、x=5m+3nという形で表すことができない自然数xをすべて求めよ。 ヒント、着眼点 「全て求めよ」とある問題はだいたい答え…

一見答えの候補が多そうで途方もないようなものであっても、少し工夫をすると一気に答えに近づくことができる。そのような問題です。 問題 ★★ (文系) a3-b3=65を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。 (理系) a3-b3=217を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。…

中学生までで習う知識のみで解けますが、数オリなだけあって、かなりひらめきの力が要求されるかもしれません。 本来の問題に載っていた図は不正確なものですが、その図はこの記事には使わず、新たにかなり正確な図を用意しました。 問題 ★★ 半径2の円O1と半…

第五回。今回は高校受験にも向いていそうな問題です。 問題 ★ 2003nの下3桁が113となるような自然数nのうち最小のものを求めよ。 ヒント、着眼点 今回はほぼノーヒント。 113は3の倍数ではないです。 有名な、3の倍数の判別法について記述しておきます。 各…

シラバスからの引用を交えつつ、数学を学ぶ姿勢について考えていきます。引用部分はかぎかっこ(「」)で示します。 実は高校で数学は文系であろうと十分に勉強する必要があります。特に文系の学生は数学に対し苦手意識を抱くことが多いですが、それでもやらね…

このシリーズの最初3回は東大を選びましたが、正直中学生ではなかなかとっつきずらい問題ばかりであったような気がします。なので、趣向を変えて、数学オリンピックの過去問から出題してみようと思います。東大と違い、数オリには中学生までの知識しか登場し…

第4回、実数が自然数より圧倒的に多く存在することを証明します。 前回はこちら hibiyastudy.hatenablog.com 前回のおさらい。 自然数と同じくらい多くあるものについては、1つ2つ3つ...と番号を付けてすべてを網羅できれば証明完了です。 「〇〇は？」「そ…

国立大学後期日程の合格発表も終わり、いよいよ新たな学年のスタートラインが見えてきましたね。 さて、今回は新しく高校に入る方向けの記事です。 新高1の皆さん、進学先の高校のシラバスにはもう目を通しましたか？ 「 シラバス」とは、学校が定めた学習指…

※この記事はこれまでの記事と違い、若干のおふざけ要素が含まれます。エイプリルフールなのでお許しください。 ※この記事にはある程度の誇張が含まれています。全てを鵜呑みしないでください。 日比谷高校に合格したみなさん。本当におめでとうございます。 …

こんにちは、ついに4月がやってきました。筆者kの家の近くの公園を散歩したら、桜が見事に咲いており、それを見に来た人であふれかえっていました。熱心にスマホを構えて写真を撮りまくるご年配の方々を見て、時代の移り変わりを実感しました。 さて、当ブロ…

前回は無限の種類について少しふれました。今回は無限の面白い性質などを紹介します。 前回はこちら hibiyastudy.hatenablog.com 無限の不思議な世界をのぞいてみましょう。 Q1.無限個の飴が入っている瓶から飴を1つ取り出しました。残りはいくら？ A1.無限…