中学生でも解ける大学入試数学１３★ 2012年慶應(経)

やや複雑な確率の問題です。試行の内容をよく理解し、漏れの無いように全てのパターンを検討する力が試されます。

2012年慶應大学経済学部の数学最後の問題です。

問題

★

金貨と銀貨を一枚ずつ同時に1回投げる試行を行う。

金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨が裏なら1点、金貨も銀貨も表なら2点を得る。

この試行を5回繰り返して得た点数の合計をXとする。

(1) X=1となる確率を求めよ。

(2) X=3となる確率を求めよ。

(3) Xが偶数となる確率を求めよ。ただし、0は偶数とする。

ヒント、着眼点

0点を得ることをA、1点をB、2点をCとします。

(1) Aが4回とBが1回となる場合のみX=1となります。あとは5回の試行のうち何回目にBとなるかを考えます。

Bが1回目でX=1となる確率、Bが2回目でX=1となる確率、...、Bが5回目でX=1となる確率を足せば答えが得られます。

(2) ABCのどのような組み合わせでX=3となるかを全て見つけましょう。あとはそれぞれのパターンの数を求めるだけです。

(3) X=0、X=2、...、X=10のそれぞれの確率を求めて足すか、X=1、X=3、...、X=9の確率を求めて足し、それを1から引くかのどちらでも求めることはできますが時間がかかりそうです。

入試は時間との勝負なので、いかに思考量、計算量が少ないやり方を見つけることができるかが大事になりそうです。工夫して早く解く方法はないでしょうか？

以下、解答

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解答

(1) 5/64

(2) 25/128

(3) 33/64

解説

0点をA、1点をB、2点をCとします。

Aの確率は1/2、Bは1/4、Cは1/4です。

(1)

 X=1となるのはA4回とB1回です。

Bが何回目に出ても確率は変わりません。

(1/2)4(1/4)=1/64 

Bが1回目、2回目、3回目、4回目、5回目どれも1/64なので、これらを足して5/64

(2)

 X=3となるのは、

①A3回B1回C1回

②A2回B3回 

 このどちらかです。

①A3つとB1つ、C1つを並べると何通りあるかを求めます。

まずBとCを何文字目に置くかで5C2=10通り。

BとCの場所を決めた後、BとCをどちらに置くかで2通り。よって10×2=20通り。

この各20通りはすべて確率が同じで、

(1/2)3(1/4)(1/4)=1/128

よって1/128×20=20/128

②A2つB3つを並べると何通りあるかというと、

まず5文字分のスペースを作り、Aを何文字目に置くかを決め、残りにBを置けばいいので5C2=10通り。

この各10通りはすべて確率が同じで、

(1/2)²(1/4)³=1/256

よって1/256×10=5/128

①と②の確率を足して、25/128

(3)

X=0、X=2、...、X=10のそれぞれの確率を求めて足すなども時間をかければ解くことができますが、もっとシンプルに解く方法があります。

1点の回数が偶数回、つまり0回,2回,4回の時、Xが偶数となります。

 ここでは、A(0点)かC(2点)、またはB(1点)の2つに分けます。

AかCは3/4、Bは1/4の確率となります。

Bが0回の時、AかCが5回なので、(3/4)⁵

Bが2回の時、AかCが3回なので、5C2(1/4)²(3/4)³

Bが4回の時、AかCが1回なので、5C4(1/4)⁴(3/4)

 これらを足すと、33/64

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written by k