中学生でも解ける大学入試数学１０★★ 2008年北大文系

このシリーズでは初めての確率の問題です。確率は高校の数学でも習いますが、新しいことを多くは学びません。中学校で習う確率が十分理解できていれば高校の確率も、大学入試の確率もある程度解けてしまうのです。

2008年文系第4問。

問題

★★

1から6の目が等確率ででるさいころを4回振る。

(1) 出た目の最小値が1である確率を求めよ。

(2) 出た目の最小値が1で最大値が6である確率を求めよ。

ヒント、着眼点

さいころを4回振るので、さいころの目の組み合わせは6×6×6×6=1296通り。

この数字が分母となります。

(1) 出た目の最小値が1となる組み合わせが何通りあるかを求めます。

「出た目の最小値が1となる」=「少なくとも1回は1の目がでる」

この言い換えでピンと来たならば、そこまで苦戦せずに(1)は解けるでしょう。

(2) 最小値が1で最大値が6となる組み合わせが何通りあるかを求めます。

「最小値が1で最大値が6となる」=「少なくとも1回ずつは1と6の目がでる」

として(1)の応用が利くか考えるのもよいです。(1)ほど素直にはいきませんが。

少なくとも2つの目の数字が1と6に固定されているので、全ての通りを数え上げるのも不可能ではなさそうです。

 以下、解答

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解答

(1) 671/1296

(2) 151/648

解説

まず、さいころを4回振ると6×6×6×6=1296通り。これが分母の数字となります。

(1)ヒントにある通り、「少なくとも1回1の目がでる」総数を最終的に求めます。

この余事象を考えると、「1回も1の目が出ない」→「4回とも2から6のいずれかが出る」となり、 これが5⁴=625通りあるので、

「少なくとも1回1の目がでる」のは1296-625=671

よって671/1296

(2)場合分けをしてみます。「2から6のいずれか」をaと書くことにします。

条件を満たすさいころ4回の目の種類を小さい順に並べて場合分けします。

①1116

②1166

③1666

④11a6

⑤1a66

⑥1aa6

この6パターンが考えられます。それぞれ並び替えて何通りあるかを数えます。

① 1116,1161,1611,6111の4通り

② 1166,1616,6116,1661,6161,6611の6通り

③ 1666,6166,6616,6661の4通り

④ aに入る数字が2から5の4通り。11a6を並び替えると12通りあるので、4×12=48通り

⑤ ④と同じなので48通り

⑥ まず1と6の位置を定めます。

1aa6

1a6a

16aa

61aa

a16a

a1a6

6a1a

a61a

aa16

6aa1

a6a1

aa61

この12通りが考えられ、そのそれぞれでaに4つの数字が入るので12×4×4=192通り

①から⑥までを足して302通り。

よって302/1296=151/648

(2) ベン図を用いた解法

上のようなベン図を考えます。2つの円をそれぞれ「最小が1でない」「最大が6でない」に対応させます。そうすると求めるべき「最小が1、最大が6」は2つの円の外側にあたります。まずは2つの円の内側が何通りか求め、1296からそれを引きます。

625+625-256=994

1296-994=302

と、簡単に求められます。

前回

中学生でも解ける大学入試数学９ 1970年東大 - 日比谷高校のススメ

次回

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written by k