中学生でも解ける大学入試数学１１★ 1977年北大文系

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中学生でも解けるように、問題文を一部改変しています。ご了承ください。

問題

★

1から250までの自然数を考える。

(1) 2²で割り切れるものの個数を求めよ。

(2) 2²と3²で同時に割り切れるものの個数を求めよ。

(3) 2以上のなんらかの自然数aの2乗a²で割り切れるものの個数を求めよ。

ヒント、着眼点

(2)まではすんなり解けてほしいところです。

(3)はただ闇雲に2²,3²,4²と試すのは少し問題がありますね。なぜかというと、4²で割り切れるものは2²で割り切れるのです。なるべく計算回数が少なくなるような方法を考えつつ解けるとよいでしょう。

以下、解答

解答

(1) 62個

(2) 6個

(3) 97

解説

1からnまででkで割り切れるものの個数は、n÷kの商となります。なぜそうなるかはここでは省きます。

(1) 250÷4=62...2

(2) 250÷36=6...34

(3)2²で割り切れるものから順にカウントしていきます。

2²で割り切れるものの個数は250÷4=62...2より62個

3²で割り切れるものの個数は250÷9=27...7より27個

5²で割り切れるものの個数は250÷25=10より10個

7²で割り切れるものの個数は250÷49=5...5より5個

11²で割り切れるものの個数は250÷121=2...8より2個

13²で割り切れるものの個数は250÷169=1...81より1個

17²=289なのでこれ以上しらべる必要なし

ここまでで合計107となりますが、重複してカウントしている分を取り除きます。

2²と3²で割り切れるもの 250÷36=6...34より6個

2²と5²で割り切れるもの 2個

2²と7²で割り切れるもの 1個

3²と5²で割り切れるもの 1個

3つの自然数の2乗で割り切れるものはありません。

以上から、107-10=97個

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written by k