早慶レベル以上の高校入試で出題されそうな問題です。 高校入試ででそうな問題が大学で出題されることは少なくないのかもしれませんね。 文章の意味を分かりやすくするために一部問題文を変えています。 問題 ★★ 自然数nに対して、n!が2で割り切れる最大の回…

旧帝大、早慶ときてお次はMARCHです。 やはり、旧帝大や早慶と比べて簡単な問題が増えているように感じます。 問題 ★ 4/x + 9/y =1 を満たす自然数の組(x,y)は何組あるか。 また、そのうちxが最大であるものを答えよ。 ヒント、着眼点 とりあえずxとyに適当…

問題 ★★ m,nは自然数でm

中学生でも解ける問題となると、どうしても整数問題が多くなってしまうのです。 問題 ★★ x,yを自然数、pを3以上の素数とするとき、以下の各問に答えよ。 (1) x2-y2=pが成り立つとき、x,yをpで表せ。 (2) x3-y3=pが成り立つとき、pを6で割った余りが1となるこ…

2連続2013年早稲田大学商学部からの出題です。 問題 ★★ 次の条件を満たす自然数a,b、正の奇数cの組(a,b,c)を考える。 2a=(4b-c)(b+c) (1) b=13のとき、a,cの値を求めよ。 (2) a≦2013である組(a,b,c)の個数を求めよ。 ヒント、着眼点 左辺は2のa乗なので、右…

おろそかになりがちな「定義」に関する問題です。 問題 ★ (1) 有理数の定義をかけ。 (2) 各命題の真偽を述べよ。真ならば証明を、偽ならば反例を一つ挙げよ。 (a) √5は無理数である。 (b) r , sがともに有理数ならば、積 rsは有理数である。 (c) aが無理数で…

やや複雑な確率の問題です。試行の内容をよく理解し、漏れの無いように全てのパターンを検討する力が試されます。 2012年慶應大学経済学部の数学最後の問題です。 問題 ★ 金貨と銀貨を一枚ずつ同時に1回投げる試行を行う。 金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨…

国立文系としてはちょうどよい難易度だと思います。理系ならばたやすく解けるべきでしょう。 北大後期日程の問題です。 問題 ★ 正の整数の組(a,b,c)が次の式を満たすとする。 a2+b2=c2 (1) a,b,cのうち少なくとも1つは偶数であることを示せ。 (2) a,b,cのう…

中学生でも解けるように、問題文を一部改変しています。ご了承ください。 問題 ★ 1から250までの自然数を考える。 (1) 22で割り切れるものの個数を求めよ。 (2) 22と32で同時に割り切れるものの個数を求めよ。 (3) 2以上のなんらかの自然数aの2乗a2で割り切…

このシリーズでは初めての確率の問題です。確率は高校の数学でも習いますが、新しいことを多くは学びません。中学校で習う確率が十分理解できていれば高校の確率も、大学入試の確率もある程度解けてしまうのです。 2008年文系第4問。 問題 ★★ 1から6の目が等…

1970年。非常に昔の問題です。なんと、完全に中学生までの知識で解くことができます。また、問題文に高校以上の単語が出現することもありません。 このような図形に対する大事な感覚を見る問題は一度はやるべきです。 問題 ★★ A(0,1),B(0,11)がある。x軸上の…

個人的に、問題文が短い問題は好きです。洗練されていて、どこか美しさがありますよね。 問題 ★ どのような負でない整数m,nを用いても、x=5m+3nという形で表すことができない自然数xをすべて求めよ。 ヒント、着眼点 「全て求めよ」とある問題はだいたい答え…

一見答えの候補が多そうで途方もないようなものであっても、少し工夫をすると一気に答えに近づくことができる。そのような問題です。 問題 ★★ (文系) a3-b3=65を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。 (理系) a3-b3=217を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。…

中学生までで習う知識のみで解けますが、数オリなだけあって、かなりひらめきの力が要求されるかもしれません。 本来の問題に載っていた図は不正確なものですが、その図はこの記事には使わず、新たにかなり正確な図を用意しました。 問題 ★★ 半径2の円O1と半…

第五回。今回は高校受験にも向いていそうな問題です。 問題 ★ 2003nの下3桁が113となるような自然数nのうち最小のものを求めよ。 ヒント、着眼点 今回はほぼノーヒント。 113は3の倍数ではないです。 有名な、3の倍数の判別法について記述しておきます。 各…

このシリーズの最初3回は東大を選びましたが、正直中学生ではなかなかとっつきずらい問題ばかりであったような気がします。なので、趣向を変えて、数学オリンピックの過去問から出題してみようと思います。東大と違い、数オリには中学生までの知識しか登場し…

第3回は1993年東大文系(一部改題)の問題です。おそらく東大数学の中でも簡単な問題の部類に分けられるものです。 答えを出すだけなら非常に容易ですが、なぜそれが正しいのかをしっかり説明するのは少し手間がかかる問題です。 問題 ★ 数列{an}を次のような…

第2回も東大です。東大2005年共通問題(一部改題)です。 問題 ★★ 3以上9999以下の奇数aで、a2-aが10000で割り切れるものを1つ求めよ。 ヒント、着眼点 本来の問題は「すべて求めよ」ですが、実は答えが1つしかありません。入試本番においては、答えがその1つ…

第一回は東大。2007年文系の第3問(一部文章を変えています)となっています。 問題 ★★ mがあらゆる自然数をとるとき、5m4の下2桁の候補をすべて求めよ。 ヒント、着眼点 数の性質に関する、よくある問題文の短いものです。これらの問題は、問題文にヒントがな…

新シリーズの告知です。 中学生でも解ける大学入試数学 中学生までに習う知識のみで解くことのできる大学入試数学の問題を1題ずつ紹介していくシリーズです。(たまに高校生以上の知識が若干含まれるかもしれません。) 東大京大を始めとする国立大学のみなら…