中学生でも解ける大学入試数学１８★ 2010年上智大(文(哲)その他)

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旧帝大、早慶ときてお次はMARCHです。

やはり、旧帝大や早慶と比べて簡単な問題が増えているように感じます。

問題

★

4/x + 9/y =1 を満たす自然数の組(x,y)は何組あるか。

また、そのうちxが最大であるものを答えよ。

ヒント、着眼点

とりあえずxとyに適当に自然数を代入していけばもしかしたら見つかるかもしれませんが、それはよい方法ではありません。与えられた式を変形したりして、xとyが求めやすくならないか試行錯誤しましょう。

うまく変形できれば、早慶レベルの高校入試でも見るような問題に帰着できます。

以下、解答

解答

9組、(40,10)

解説

与えられた式を変形しましょう。両辺にxyをかけると、

4y+9x=xy

移項して符号を調整して、

xy-9x-4y=0

このような形を見たら、難関高校入試ではお決まりの変形をして次の式を作ります。

(x-4)(y-9)=36

(作り方は、(x+〇)(y+〇)を展開したときにxy-9x-4y+●となるように2つの〇に入る数を決めます。

そうすると(x-4)(x-9)ができます。これを展開するとxy-9x-4y+36となります。)

もともとの変形したい式から最終的な式への過程を記すと、

xy-9x-4y=0

xy-9x-4y+36-36=0

(x-4)(y-9)-36=0

(x-4)(y-9)=36

となります。かけて36になるので、x-4とy-9の組は

(x-4,y-9)=(±1,±36),(±2,±18),(±3,±12),(±4,±9),(±6,±6),(±9,±4),(±12,±3),(±18,±2),(±36,±1)(複号同順)

(複号同順というのは、例えば(±1,±36)は(1,36)と(-1,-36)の2つを意味するということです。)

この18組考えられますが、x,yは自然数なのでx-4は-3以上、y-9は-8以上です。これに適さないものを除外すると残るのは、

(x-4,y-9)=(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(2,3),(18,3),(36,1)

運よく全てが正になるものだけ残ります。x-4,y-9がこの9組の値の時、その値になるようなx,yが1組ずつあるので、答えは9組

この中でxが最も大きいのはx-4が最も大きくなる時なので、

(x-4,y-9)=(36,1)

この時(x,y)=(40,10)

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written by k