大学院入試の過去問を眺めていたら、たまたま運よく高校生でも解ける（ここでの解けるは、問題文の意味を理解でき、そして高校までの知識のみで答えを出せるという意味で、簡単に解けるとは言ってません*1 )問題を見つけたので、記事にしようと思います。問…

問題を少し変えています。 問題★★ 3桁の自然数の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcとする。 (1) 10a+b-2cが7の倍数ならばもとの自然数は7の倍数であることを示せ。 (2) a≠b, a=cであるとき、もとの自然数が7の倍数となるようなaとbの組は何通りあ…

問題★ 1から2002までの自然数のうち、45で割ったときの余りが45で割ったときの商より小さいものはいくつあるか。 ヒント、着眼点 「何通りあるか」問題は、計算でパパっと求められるものもあれば、根気よく順に数えて求めるものもあります。今回はうまく順に…

問題★★ 自然数の組(a, b)で、aからbまでの自然数全ての和が500となるようなa, bの組を全て求めよ。ただしa

簡単な問題を出します。 1,2,3,〇,5,... さて、〇に入るのはいくつ？ いやー簡単ですねぇ。当然答えは2019です。当たり前ですね。 え？答えは4じゃないかって？いやいや。 この数の並びは、 にを順に代入したものですから。4になるわけがありません。ちなみ…

問題★ 平面上に一辺4の正三角形がある。0

第１回の記事はこちら第２回の記事はこちら第３回の記事はこちら第４回の記事はこちら 互いに素とあまりの周期の関係 例題 例題 互いに素とあまりの周期の関係 p,qは互いに素な自然数とする。pの倍数をqで割った余りは、q個ごとに同じ数が繰り返される。 例…

問題★★ 正の約数の個数がちょうどm個であるような、1900以上の自然数のうち最小のものをとする。 (1) (2) ヒント、着眼点 難関高校受験でも習う約数の個数の求め方を知っていれば方針が決まりやすいのではないでしょうか。 一応公式を書いておきます。 自然…

第１回の記事はこちら第２回の記事はこちら第３回の記事はこちら 第５回の記事はこちら 素因数分解の一意性 例題 問題 例題 問題 素因数分解の一意性 素因数分解は積の順番を除いてただ一通りである。 つまり、素因数分解は必ず同じ結果になるということです…

問題★★ ある規則に従って、次のように分数を並べる。 (1) 最初から20番目、50番目、200番目の分数は何か。(約分しなくてよい) (2) 最初から200番目までの間に、1と等しい分数はいくつあるか。 ヒント、着眼点 まずは分数の並びの規則を見ぬいてください。分…

問題★ が の約数となるような最小の自然数 を求めよ。 ヒント、着眼点 「aがbの約数である」というのは、b÷aが割り切れるということですね。中3で、約数、公倍数などと因数分解の関係を習うかと思います。 例①7は28の約数である 28を素因数分解すると、28=22…

2019年名大理系の問題です。 問題★★ 自然数nの正の平方根 は整数ではなく、小数第1位は0で、小数第2位は0でない数とする。 (1) このようなnの中で最小のものを求めよ。 (2) このようなnで10番目に小さいものを求めよ。 ヒント、着眼点 中3でならう平方根。 …

高校数学の発展事項として扱われる鳩の巣原理。内容はごくごく当たり前のことですが、とても強力な証明の道具です。この原理に関する面白い事柄をご紹介します。 鳩の巣原理とは 問題１ 解答１ 問題２(早稲田大学の過去問) 解答２ 補足２ 問題３ 解答３ 補足…

今年の大学入試から。京大の整数問題です。 問題★★ とする。 と がともに素数となる整数 を全て求めよ。 ヒント、着眼点 ※中学生はf(x)という表記を習っていないと思います。これは中学校におけるyと同じようなものです。たとえば、f(1)と書いたら、x=1を代…

算数、数学が好きな人であれば(おそらく)だれもが考えること、 とにかく大きな数を作りたい！！！ 数を大きくするのにどんな方法があるのか、どうすれば手っ取り早く数を大きくできるか、を考えてみましょう。そのために、まずは頭の体操をしてみましょう。 …

中学入試でも見そうな問題です。ただ、最後の問題は少し難しいです。 問題★★ 2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていく。 (1) 1003は何番目の数か。 (2) 2000番目の数を求めよ。 (3) mを自然数とする。1番目から2m番目までの数を全て足した値…

さて、どちらが大きいか当ててみてください。実際に計算するもよし、概算や直感で判断するもよし、です。 問題 logを使って解析する eとは？ 関連する有名な問題 問題 問題1. どちらが大きいか。 (1) 34と43(2) 510と105(3) 1011と1110 答え1. (1) 34=81, 43…

問題★★ のとき、の値を求めよ。ただし、とする。 ヒント、着眼点 対称式 対称式とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことをいいます。 中学数学でも言葉は習わずに少しだけ登場します。 例えば、これらが対称式です。 文字が2つのときはその2つを入れ…

前回はこちら 【数学小話】ほんとうに0.999...=1なのか① 1/3を使う証明は間違い？ 0.999...=1 これがなぜ正しいのか、そもそもこの式の意味は何なのか、ということを説明するという目的のこのシリーズ。前回は中学生向けとしてよく見られる証明を紹介しまし…

0.999...=1 これはどうやら正しいらしい、でも正直あまり納得いかない、という人が多いかと思います。 たまに等しくないかのように言う人がいるので最初に断言しますが、この式は正しいです。ただ、この正しさを正確に説明しようとするとなかなか難しいので…

前回までは高校入試前ということで高校入試の過去問を紹介していましたが、今回からはそれ以前のように、大学入試の問題の紹介に戻ります。 問題★★ 連立方程式 について、以下の問いに答えよ。 (1)解が存在しないときのaの値を求めよ。 (2)解が無数に存在す…

今年もやってきました都立入試。もはや私にとってはタイムアタックと化したこの行事。今年の日比谷の問題を入手したので、いち早く解説を載せようと思います。ほかの教科の解説もいずれアップされます。 ※2019/09/03追記 英語の記事は出ません。申し訳ありま…

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 今回はいろんな高校から計算問題を集めてきました。今度こそ都立の大問１はこれでばっち…

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 問題 ★★ 半径2の円周上に4点A,B,C,Dを、弧AB:弧BC:弧CD:弧CD=4:4:3:1となるようにとる。 …

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 今回はいろんな高校から計算問題を集めてきました。都立の大問１はこれでばっちり？ 都立…

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 今回は2006年の空間図形です。 問題 ★ 図において、①は関数のグラフで、②は関数のグラフ…

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 今回は2006年の空間図形です。 問題 ★ 図1 図1で、曲線lは関数のグラフ、直線mは関数のグ…

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 一度は日比谷の問題をやったほうがよい気がしました。 今回は2006年の空間図形です。 問…

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 2003年の問題です。途中の小問を1つ除いています。 問題 ★★ 図の、曲線Cはのグラフである…

★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。 ★★ ...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。 ★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。 問題 ★★ 図のように、4点O(0,0)、A(2,9)、B(8,6)、C(8,0)を頂点とする四角形OABCがある。…