中学生でも解ける外伝高校入試難問４０★ 2006年都立国立高

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

今回は2006年の空間図形です。

問題

★

図1で、曲線lは関数 $y=ax^2$ のグラフ、直線mは関数 $y=x+b$ のグラフを表している。ただしa,bは正の数である。

曲線lと直線mの2つの交点のうち、x座標が負である点をA、正である点をBとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) b=10/3、点Aのx座標が-2のとき、aの値を求めよ。

(2) 図2は、図1において、点Aの座標が(-2,1)、点Bの座標が(6,9)であるときを表している。

線分AB上に点Cをとり、点Cからx軸にひいた垂線と曲線lの交点をDとする。

△ABDの面積が16のとき、点Cの座標を求めよ。

(3) 図3は、図1において、点Aのx座標が-2、点Bのx座標が4のときを表している。

1辺の長さが1の正方形PQRSを、頂点Pが直線l上に、頂点Rが曲線上にあるように作る。

ただし、点Rのx座標は点Pのx座標より大きく、点Rのy座標は点Pのy座標より小さく、点Pと点Sのy座標は等しいものとする。

このとき、点Pのx座標を求めよ。

ヒント、着眼点

(2) AとBの座標からa,bの値が分かります。Cのx座標を求める問題なので、これをtとおき、Dの座標や△ABDの面積をtで表します。

(3) たまに勘違いをする人がいますが、(3)のa,bの値と(2)で求めたa,bの値は必ずしも一致しません。(3)の冒頭で「図3は、図1において、」とあるところから、a,bの値はリセットされていることを読み取りましょう。ですから、まずはaとbの値を求めるところからやりましょう。

また、点Pのx座標を求めよとあるので、やはりこれをtとおいて、Q, R, Sの座標をtで表したりしてみましょう。

以下、解答

解答

(1) a=1/3

(2) 2

(3) √5

解説

(1) b=10/3より直線mの式はy=x+10/3なので点Aの座標は(2,4/3)

これを $y=ax^2$ に代入して、a=1/3

(2) A, Bいずれかの座標を $y=ax^2$ に代入して、a=1/4、 $y=x+b$ に代入してb=3

Cのx座標をtとすると、C, Dの座標はそれぞれ(t,t+3), (t,t²/4)

よって、CD=(t+3)-t²/4=-t²/4+t+3なので、

△ABD=(-t²/4+t+3)×{6-(-2)}×1/2=-t²/+4t+12

これが16となるから、

-t²/+4t+12=16

これを解いて、t=2

(3)

Aのx座標が-2だから、これを $y=ax^2$ と $y=x+b$ にそれぞれ代入すると、

y=4a, y=b-2より4a=b-2...①

Bのx座標が4だから、これを $y=ax^2$ と $y=x+b$ にそれぞれ代入すると、

y=16a, y=b+4より16a=b+4...②

①と②を連立して、a=1/2, b=4

点Pのx座標をtとすると、P(t,t+4)

PQRSが1辺1の正方形なので、Rの座標は(t+1,t+3)

また、Rは曲線l上にあるから、 $y=\frac{1}{2}x^2$ にx=t+1, y=t+3を代入して、

$\displaystyle t+3=\frac{1}{2}(t+1)^2$

これを解くと $\displaystyle t=\pm\sqrt{5}$

点Pは線分AB上の点だから、-2≦t≦4なのでt=√5

この問題のように、ある点のx座標をtとおいて方程式をつくるタイプは、x座標をtとおいた点とは別の点の座標を2通りで表す、ということで解けることが多いです。別の点が $y=ax^2$ 上にあるから、ある点とx座標が1ずれているから、などといった観点から式を作るのです。

↓ 次回と前回

中学生でも解ける外伝高校入試難問３９ 2006年都立日比谷高 - 日比谷高校のススメ

中学生でも解ける外伝高校入試難問４１ 2013年学芸大附属高 - 日比谷高校のススメ

written by k